Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней. - презентация

1 Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Название многогранника ВРГ Треугольная пирамида Четырехугольная пирамида Треугольная призма Четырехугольная призма n-угольная пирамида n-угольная призма n+12n2n 2n2n3n3nn+2

2 ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

3 Задача о трех домиках и трех колодцах Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу? Ответ: Нет.

4 Упражнение 1 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы? Ответ: Да.

5 Упражнение 2 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды? Ответ: Да.

6 Упражнение 3 Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера. Ответ: Например, куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед.

7 Упражнение 4 Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8;б) В = 7, Г = 10.

8 Упражнение 5 Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6;б) В = 10, Г = 7.

9 Упражнение 6 Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

10 Упражнение 7 В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

11 Упражнение 8 Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В – Р + Г, где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке? Ответ: 0.

12 Упражнение 9 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.

13 Упражнение 10 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.