Центральная симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии, если O является серединой. - презентация

1 Центральная симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии, если O является серединой отрезка AA'. Точка O считается симметричной сама себе. Фигура Ф в пространстве называется центрально-симметричной относительно точки O, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно точки O некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед центрально-симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар центрально- симметричен относительно своего центра и т. д.

2 Осевая симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно прямой a, называемой осью симметрии, если прямая a проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна этому отрезку. Точки прямой a считаются симметричными сами себе. Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно оси a, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой оси некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси и т. д.

3 Зеркальная симметрия Точки A и A' в пространстве называются симметричными относительно плоскости α, называемой плоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна к нему. Точки плоскости α считаются симметричными сами себе. Симметрия относительно плоскости называется также зеркальной симметрией. Фигура Ф в пространстве называется зеркально-симметричной относительно плоскости α, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой плоскости некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед зеркально-симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.

4 Симметрия n-го порядка Прямая a называется осью симметрии n-го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф на угол вокруг прямой a фигура Ф совмещается сама с собой. Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии. Например, в правильной n-угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n-го порядка.

5 Упражнение 1 Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур. Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.; не центрально-симметричные: пирамида, конус и др.

6 Упражнение 2 Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей? Ответ: Да.

7 Упражнение 3 Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д.

8 Упражнение 4 Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии? Ответ: Нет.

9 Упражнение 5 Имеет ли центр симметрии: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) Нет;б) да;в) да;г) да;д) да.

10 Упражнение 6 Имеет ли центр симметрии наклонная призма, основанием которой является правильный девятиугольник? Ответ: Нет.

11 Упражнение 7 Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед? Ответ: 9 осей симметрии.

12 Упражнение 8 Сколько осей симметрии имеет шар? Ответ: Бесконечно много.

13 Упражнение 9 Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии 3-го, 4-го и т. д. порядков. Ответ: Правильные 3-угольные, 4-угольные пирамиды.

14 Упражнение 10 Какие оси симметрии имеет тетраэдр? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящие через вершины и центры противоположных граней; 3 оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.

15 Упражнение 11 Какие оси симметрии имеет куб? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящие через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 3 оси симметрии, проходящие через центры противоположных граней.

16 Упражнение 12 Какие оси симметрии имеет октаэдр? Ответ: 3 оси симметрии, проходящие через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящие через центры противоположных граней.

17 Упражнение 13 Какие оси симметрии имеет икосаэдр? Ответ: 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящие через центры противоположных граней.

18 Упражнение 14 Какие оси симметрии имеет додекаэдр? Ответ: 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящие через центры противоположных граней.

19 Упражнение 15 Приведите пример фигуры, имеющей центр симметрии, но не имеющей оси симметрии. Ответ: Наклонный параллелепипед.

20 Упражнение 16 Приведите пример фигуры, имеющей ось симметрии, но не имеющей центра симметрии. Ответ: Правильная четырехугольная пирамида.

21 Упражнение 17 Найдите центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых. Ответ: Центр симметрии – точка пересечения данных прямых. Оси симметрии – две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованные данными прямыми, и прямая, проходящая через точку пересечения данных прямых и перпендикулярная их плоскости. Если данные прямые перпендикулярны, то сами они также являются осями симметрии. Плоскости симметрии: плоскость данных прямых и две плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованные данными прямыми и перпендикулярные их плоскости.

22 Упражнение 18 Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед? Ответ: По крайней мере, три плоскости симметрии.

23 Упражнение 19 Сколько у правильной шестиугольной призмы: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии? Ответ: а) Семь осей симметрии, одна ось симметрии (2n – 1)-го порядка; б) семь плоскостей симметрии.

24 Упражнение 20 В основании прямой призмы лежит ромб. Сколько она имеет: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии? Ответ: а) 3 оси симметрии; б) 3 плоскости симметрии.

25 Упражнение 21 Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) 6;б) 9;в) 9;г) 15;д) 15.

26 Упражнение 22 Какими видами симметрии обладает наклонный параллелепипед? Ответ: Центром симметрии.

27 Упражнение 23 Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии. Ответ: Пирамида, в основании которой параллелограмм, может иметь ось симметрии, но не имеет плоскости симметрии. Правильная треугольная пирамида имеет плоскости симметрии, но не имеет осей симметрии.