СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы. - презентация

1 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение таких векторов считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается По определению, где φ – угол между векторами и. Произведение называется скалярным квадратом и обозначается. Из формулы скалярного произведения следует равенство Теорема. Скалярное произведение векторов, выражается формулой

2 СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Для скалярного произведения векторов справедливы свойства, аналогичные свойствам произведения чисел: Используя формулу и формулу скалярного произведения, можно находить угол между векторами.

3 Упражнение 1 Дан куб A … D 1. Найдите угол между векторами: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и. Ответ: а) 90 о ;б) 135 о ;в) 90 о ;г) 120 о ;д) 135 о.

4 Упражнение 2 Дан прямоугольный параллелепипед OABCO 1 A 1 B 1 C 1, представленный на рисунке. Найдите скалярное произведение векторов: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и. Ответ: а) 0;б) 25;в) 25;г) 89;д) 100.

5 Упражнение 3 Найдите скалярное произведение векторов (-1,2,3) и (2,-1,0). Ответ: –4.

6 Упражнение 4 Какой знак имеет скалярное произведение векторов, если угол между ними: а) острый; б) тупой? Ответ: а) Плюс;б) минус.

7 Упражнение 5 В каком случае скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю? Ответ: Если они перпендикулярны.

8 Упражнение 6 Найдите угол между векторами: а) (2,3,-1) и (1,-2,4); б) (1,2,-2) и (1,0,-1). Ответ: а) ; б) = 45 о.

9 Упражнение 7 При каком значении z векторы и перпендикулярны? Ответ: z = -2.

10 Упражнение 8 Точки M, N, P – середины ребер AB, AD, DC правильного тетраэдра с ребром 4. Найдите скалярные произведения: а) б) в) г) д) е) Ответ: а) 2;б) -2;в) -2;г) 1;д) -1;е) 0.

11 Упражнение 9 Найдите углы, которые образует с координатными векторами вектор: а) б) в) г) (0,3,4). в) 180 о, 90 о, 90 о ; Ответ: а)б) 90 о, г) 90 о,

12 Упражнение 10 Найдите координаты единичного вектора, если известно, что он перпендикулярен векторам с координатами (1,1,0), (0,1,1). Ответ: