Вписанный угол. Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её, называется вписанным. В А С АВС - вписанный А В С Е. - презентация

1 Вписанный угол

2 Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её, называется вписанным. В А С АВС - вписанный А В С Е Р Н К М О Т У S F D Назови вписанный угол

3 Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Дано: Окр.(О;r), АВС – вписанный. Доказать: АВС = ½ АС. Доказательство: 1 случай. ВС проходит через центр окружности. Проведём ОА. Тогда дуга АС меньше полуокружности. АОС – центральный, значит АОС = АС Следовательно, 2 В = АС. Значит, АВС = ½ АС АОС – внешний угол АВС, значит, АОС = А + В = 2 В АВС – равнобедренный, значит, В = А B A C O

4 Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство: 2случай. Центр окружности лежит внутри угла АВС. А В С О Проведём луч ВО, который пересекает дугу АС в точке К. Дано: Окр.(О;r), АВС – вписанный. К АВК и СВК – вписанные, сторона каждого проходит через центр окружности. Доказать: АВС = ½ АС. АВС = АВК + СВК = ½ АК + ½ СК = ½ ( АК + СК) = = ½ АС.

5 Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство: 3 случай. Центр окружности лежит вне угла АВС. А В С О Проведём луч ВО, который пересекает Oкр(О;r) в точке К. Дано: Окр.(О;r), АВС - вписанный. К АВК и СВК – вписанные, сторона каждого проходит через центр окружности. Доказать: АВС = ½ АС. АВС = АВК - СВК = ½ АК - ½ СК = ½ ( АК - СК) = = ½ АС.

6 Реши задачи Найти: х х 2. х х 5. х х

7 Реши задачи 60 0 х 6. А В С К х А В С 7. О 30 0 х А С В 8. Найти: х

8 Следствия 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой. А В С К А В С О

9 Нужные выводы А В С О К М АМК = ½ ( АК - ВС) А В С О К М АМК = ½ ( АК + ВС)

10 О О А В С ВАС = ½ АС А В С К ВАК = ½ ( ВК - ВС) Нужные выводы

11 А В С О К М Свойство пересекающихся хорд Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Дано: Окр.(О;r), М – точка пересечения хорд АВ и СК. Доказать: АМ ВМ = СМ КМ. Доказательство: Проведём АК и ВС. Рассмотрим АКМ и ВСМ. К = В, как вписанные, опирающиеся на АС. Значит, АКМ и ВСМ подобны, следовательно, сходственные стороны пропорциональны: А = С, как вписанные, опирающиеся на ВК. АМ ВМ = СМ КМ., а, значит,

12 Нужные свойства А В С К М АМ АВ = АК АС А В С К АВ 2 = АК АС

13 Реши задачи х Найти х 1. С 2. А В К Дано: АК = 9, АС =4. Найти: АВ. 6

14 Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.