Последовательности 2011 Васильева Е.Е.. Продолжи ряд 1)1, 2, 3, 4, 5, 6 2)12, 10, 8, 6, 4 3)6, 9, 12, 15, 18, 21 4)2, 4, 8, 16, 32 5)1, 4, 16. - презентация

1 Последовательности 2011 Васильева Е.Е.

2 Продолжи ряд 1)1, 2, 3, 4, 5, 6 2)12, 10, 8, 6, 4 3)6, 9, 12, 15, 18, 21 4)2, 4, 8, 16, 32 5)1, 4, 16

3 Дни недели Классы В школе Дома на улице Квартиры в доме Номера счетов в банке Название месяцев

4 В порядке возрастания положительные нечетные числа В порядке убывания Правильные дроби с числителем, равным 1 В порядке возрастания положительные числа, кратные7 В порядке убывания положительные двузначные числа 7;14;21;28… 99;98;97… 1;3;5;7;9…

5 Определение Функцию y=f(x), определенную на множестве натуральных чисел xN (или его конечном подмножестве), называют числовой последовательностью и обозначают y=f(n), или y 1,y 2,…,y n,…. или (y n ).

6 Числа y 1, y 2, …, y n называют членами последовательности, а член с номером n – ее n-членом, его еще называют общим членом.

7 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 … anan Первый член Второй член Третий член Четвертый член n-член последовательности

8 Задать числовую последовательность это значит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им места.

9 Способы описания последовательности Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический словесный рекуррентный

10 Формула 1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена: y n = f(n). Пример: y n = 2n – 1 Y1=2*1-1=1 Y2=2*2-1=2 Y3=2*3-1=5 Y4=2*4-1=7 Y5=2*5-1=9 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

11 Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, …. Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….

12 Рекурентный Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

13 Пример рекуррентного задания Пример 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,…. Здесь y1 = 3; y2 = = 7; y3 = = 11; ….

14 Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости y n =3n-2

15 Последовательности заданы формулами a n =n 4 a n =n+4 a n =2 n -5 a n =(-1) n n 2 a n = -n-2 a n =3 n Впишите пропущенные члены последовательности 1;___;81;___;625;…5;___;___;___;9 -1;4;___;___; -25;… -3; -4;___;___; -7… 2; 8;___;___;___... ___;-4;___;___;-7 2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей Положительные и отрицательные положительные отрицательные

16

17 По преданию, индийский царь Шерам, восхищенный остроумием шахматной игры, призвал к себе изобретателя шахмат Сету и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя ! Исполню любое твое желание…» Сета попросил положить на первую клетку доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Сколько нужно зерен ?

18 Среднеазиатский математик Бернулли получил верный ответ: зерен. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше поверхности Земли.

19 ПРОТОРГОВАЛСЯ ЛИ КУПЕЦ ? Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец ска­зал, что цена велика, "Хорошо,-ответил продавец, если ты гово­ришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди на его подковах, а гвоздей на его каждой подкове по 6 штук, и будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй - две полушки, за третий 4 полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше чем предыдущий". Купец согласился, проторговался ли купец?

20 РЕШЕНИЕ: всего гвоздей 24 штуки, за все гвозди купец должен заплатить *2 + 2*2* *2*...*2 полушек 23 раза и того получаем рубля и 15 полушек.

21 Свойства числовых последовательностей Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство a n > a n – 1.

22 Пример Последовательность кубов натуральных чисел 1,8,27

23 УБЫВАЮЩАЯ Числовая последовательность называется убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство a n < a n – 1.

24 Пример

25 Монотонность Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

26 Определить монотонность 1)-1,-4,-9,-16…. 2)-1,0,1,2…. 3)-1,1,-1,1

27 Ограниченность сверху Определение. Последовательность a1, a2, a3, … называется ограниченной сверху, если для ее такое число M, что неравенство a n

28 Пример 1,-1,-3,-5 Ограничена сверху М =1

29 Ограниченность снизу Определение. Последовательность a1, a2, a3, … называется ограниченной снизу, если для ее такое число m, что неравенство a n >m выполняется для всех номеров n.

30 Пример Ограничена и сверху и снизу М=1 M=0

31 Упражнение 1 Укажите номер функции, являющейся числовой последовательностью

32 Найдите первые пять членов последовательности заданной рекуррентно Y 1 =2 Y n =y n-1 +5 Упражнение 2

33 Упражнение 3

34 Упражнение 4 Укажите номер убывающей последовательности

35 Упражнение 5 Является ли ограниченной последовательность