Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них. - презентация

1

2 Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики –

3

4 Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Б. Паскаль П. Ферма

5 В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была строго доказана первая предельная теорема простейший случай закона больших чисел. Якоб Бернулли В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок и наблюдений; Лаплас и Пауссон доказали первые предельные теоремы.XIX века

6 Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов.XIX века Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно- прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов. А. Н. Колмогоров

7 Следствие действия очень многих причин есть случайное событие. О. Результат произведенного (или могущего быть произведенным)испытания называется событием. Наблюдаемые нами события можно разделить на три вида: достоверные события, невозможные события и случайные события. О. Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет. Например: извлечение белого шара из урны, содержащей только белые шары. О. Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может. Например: извлечение голубого шара из урны, содержащей только белые шары. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.разделов математики

8 Пример: попадание в цель при выстреле из орудия. О. Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может произойти не или не произойти. О. Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого. Пример: в урне находятся белые и черные шары; вынимаем один шар; событие А – белый шар, событие В – черный шар; события А и В несовместны. О. Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает возможность появления другого. Пример: бросаются два игральных кубика; событие А – выпадение шестерки на первом кубике, событие В – выпадение шестерки на втором кубике; события А и В совместны. О. Группа событий А 1, А 2,…, А n называется группой несовместных событий, если события, входящие в группу, попарно несовместны. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание в десятку, событие А 2 – попадание в пятерку; событие А 3 – промах; события А 1, А 2, А 3 образуют группу несовместных событий.

9 О. Группа событий А 1, А 2,…, А n называется группой совместных событий, если совместны хотя бы два события из этой группы. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание в цель при первом выстреле, событие А 2 – попадание в цель при втором выстреле; событие А 3 – попадание в цель при третьем выстреле; события А 1, А 2, А 3 образуют группу совместных событий. О. Событий А 1, А 2,…, А n называют единственно возможными, если при испытании неизбежно произойдет хотя бы одно из этой событий. Пример: при двукратном бросании монеты единственно возможными будут события: событие А 1 – ГГ, А 2 – РР; А 3 – ГР, А 4 – РГ (Г- выпадение герба, Р- выпадение решки). О. Событий А 1, А 2,…, А n образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого испытания. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание, событие А 2 – промах; события А 1, А 2 образуют полную группу событий.

10 О. Событий А 1, А 2,…, А n называют равновозможными, если имеются основания полагать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Пример: бросается игральный кубик; события А 1, А 2, А 3, А 4 А 5, А 6 - являются равновозможными, где событие А 1 – появление 1, событие А 2 – появление 2, …., событие А 6 – появление 6. Определение вероятности. О. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствуюших этому событию исходов к общему числу всех простых, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов испытания : Р(А) = Возможны случаи:. вероятность случайного события есть неотрицательное число (противоположное событие).

11 Пример : игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность появления шестерки. Решение. m = 1, n = 6 Р(А) =, Р(А) =. О. Суммой А +В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе. Т1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +В) = Р(А) + Р(В). Т2. Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А 1 + А 2 +…+ А n ) = Р(А 1 ) + Р(А 2 ) +…+ Р(А n ). С1. Если события А 1, А 2,…, А n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единицы: Р(А 1 ) + Р(А 2 ) +…+ Р(А n )=1. С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единицы: Р(А) + = 1. Вероятность того, что при n исходов события ровно k раз выпадает один и тот же исход, будет равна

12 Пример: Студент сдает экзамен по теории вероятностей; вероятность получить на экзамене «неуд.» равна 0,1; «уд.» – 0,6; «хор.» -0,2; «отл.» -0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку? Решение. Событие А- получить на экзамене положительную оценку, тогда Р(А) = Р(3)+Р(4)+Р(5), Р(А) = 0,5 +0,2 +0,1 = 0,9. или так как событие А и событие получить на экзамене «неуд.» являются противоположными, то Р(А) = 1 -, Р(А) = 1 – 0,1 = 0,9. О. Произведением АВ двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении и события А и события В. О. Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называют условной вероятностью события А по отношению к событию В, или. Т3. Вероятность произведения АВ двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них (которое происходит первым) на условную вероятность другого: Р(АВ) = Р(А).

13 О. Событие В называют независимым по отношению к событию А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет. В противном случае событие В называют зависимым от события А Пример: В урне находятся 7белых и 3 черных шара; подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные. Решение. Событие А-первый шар черный, событие В-второй шар черный, тогда Р(АВ) = Р(А), Р(АВ) =, где - вероят- ность того, что второй вынутый шар черный, при условии, что первый шар также черный. Пример: Монету подбросили два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадает герб. Решение. Событие А- первый раз выпадает герб, событие В- второй раз выпадает герб, тогда Р(А) = ½ и Р(В) = ½. Так как события независимы, то Р(АВ) = Р(А)Р(В), Р(АВ) = ½ ½ =1/4. Для независимых событий формула вероятности произведения двух событий принимает вид: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

14 Т4. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) +Р(В) - Р(А)Р(В). Пример: Производится два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,6, при втором 0,8.Найти вероятность того, сто в мишени будет хотя бы одна пробоина. Решение. Событие А –попадание при первом выстреле, событие В – при втором выстреле. Так как события А и В являются совместными и независимыми, следовательно, Р(А + В) = Р(А) +Р(В) - Р(А)Р(В), Р(А + В) =0,6 + 0,8 – 0,6 0,8 = 0,92. или пусть событие С – в мишени будет хотя бы одна пробоина, - в мишени нет пробоин, тогда Р(С) = 1 – Р( ), но Р( ) = Р( ) Р( ), Р( ) = 0,4 0,2=0,08, Р(С) = 1- 0,08 = 0,92.

15 Возникновение и развитие теории вероятностей продиктовано необходимостью ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.