- самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить. - презентация

1 - самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

2 Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом

3 Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из п возможных» упоминается еще в сутрах древней Индии (начиная примерно с 4 века до н.э.).Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Комбинаторные правила пифагорейцы, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки).

4 Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять». Элементарна комбинаторика имеет дело с множествами из которых выбирают подмножества с определенными свойствами. Как правило ставится вопрос сколько таких подмножеств можно выбрать из данного множества. Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

5 Правила комбинаторики: Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Р n = n! где n - порядок перестановки, n! = … n, n!-читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1.

6 Рассмотрим различные способы сочетания трех роз.

7 Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Количество всех размещений из n по m обозначают вычисляют по формуле Если число размещений из n по n, то Таким образом

8 В соревновании пять спортсменов. Сколькими способами могут распределиться призовые места (первые три)? В соревновании пять спортсменов. Сколькими способами могут распределиться призовые места (первые три)? Задача. Ответ: 60.

9 Сочетаниями называются неупорядоченные выборки из n элементов по m и обозначаются. Число сочетаний определяется по формуле Выборки, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Свойства числа сочетаний.

10 Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». С помощью 5 свойства можно легко вычислять последующие биноминальные коэффициенты через предыдущие: Треугольник Паскаля выглядит следующим образом

11 Николай хочет купить пять разных книг, но денег у него хватает только на три (любые) книги. Сколькими способами Николай может выбрать три книги из пяти? Задача. Решение: сочетания; 1) нам нужно выбрать 3 объекта из 5, причем порядок выбора здесь не важен – нам нужны разные сочетания; сочетаний, 2) зная формулу для вычисления количества сочетаний, сразу находим (при m = 3 и n = 5 ) Ответ: 10.

12 При решении большинства комбинаторных задач используются два основных правила – правило суммы и правило произведения. Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых при условии, что все они независимы.

13 Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых используются только четные цифры? Задача. 2) предположим, что первая цифра выбрана; независимо от нее на втором месте может стоять любая из четных цифр – 0, 2, 4, 6 или 8, всего 5 вариантов : Решение: 1) первой цифрой может быть любая четная цифра, кроме нуля (иначе число не будет четырехзначным) – это 2, 4, 6 или 8, всего 4 варианта.

14 3 ) аналогично находим, что последние две цифры также могут быть выбраны 5-ю способами каждая, независимо друг от друга и от других цифр (первой и второй): 4) общее количество комбинаций равно произведению 4 · 5 · 5 · 5 = 500 Ответ :500.

15 Если правило умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в правиле сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно. Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

16 Решение: Сколько существует раз Решение: 1)возможны три случая: 99, 99 и 99, где жирная точка обозначает некоторую цифру, не равную 9 2) для каждого из этих случаев нужно подсчитать количество вариантов и эти числа сложить 3) в варианте 99 две последних цифры могут быть любыми, кроме девятки (по 9 вариантов выбора): Задача. поэтому всего получаем 1·1·9·9 = 81 вариант.

17 4) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а последняя может быть любой, кроме девятки ( 9 вариантов): поэтому всего получаем 8·1·1·9 = 72 варианта 5) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а вторая может быть любой, кроме девятки (9 вариантов): 8 · 9 · 1 · 1 = 72 поэтому всего получаем 8 · 9 · 1 · 1 = 72 варианта 6) общее количество вариантов равно сумме = = 225 Ответ: 225.

18 Можно сказать, что правило сложения это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, правило умножения это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.