Аналитическое задание многогранников Неравенства ax + by + cz + d 0 и ax + by + cz + d 0 определяют полупространства, на которые плоскость, заданная уравнением. - презентация

1 Аналитическое задание многогранников Неравенства ax + by + cz + d 0 и ax + by + cz + d 0 определяют полупространства, на которые плоскость, заданная уравнением ax + by + cz + d = 0, разбивает пространство. Если грани выпуклого многогранника лежат в плоскостях, задаваемых уравнениями то сам многогранник задается системой неравенств a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, ……………………….., a n x + b n y + c n z + d n = 0,

2 Упражнение 1 Два полупространства задаются неравенствами a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 0. Как будет задаваться пересечение этих полупространств? Ответ: Системой этих неравенств.

3 Упражнение 2 Определите, какому полупространству 5x + 3y - z или 5x + 3y - z принадлежит точка: а) А(1, 0, 0); б) B(0, 1, 0); в) C(0, 0, 1). Ответ: а) Первому;б) первому;в) второму.

4 Упражнение 3 Какой многогранник задается системой неравенств Ответ: Куб.

5 Упражнение 4 Какую фигуру в пространстве задает следующая система неравенств Ответ: Прямоугольный параллелепипед.

6 Упражнение 5 Изобразите многогранник, задаваемой системой неравенств Ответ: Многогранник, получающийся из куба отсечением пирамиды.

7 Упражнение 6 Какой многогранник задается неравенством Ответ: Октаэдр.

8 Упражнение 7 Какой многогранник задается неравенствами Ответ: Кубооктаэдр.

9 Упражнение 8 Какие неравенства, задают правильный тетраэдр, вершины которого имеют координаты: (1, 1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1,-1). Ответ: |x+y|+z 1, |x-y|-z 1.

10 Упражнение 9 Какая фигура в пространстве задается системой неравенств? Ответ: Цилиндр.

11 Упражнение 10 Напишите неравенства, определяющие конус с вершиной в точке S(0,0,h) и основание которого - круг радиуса R, лежащий в плоскости Oxy. Ответ:

12 Уравнение z = f(x, y) задает поверхность в пространстве. Здесь мы приведем примеры таких поверхностей. Пример 1

13 Пример 2

14 Пример 3

15 Пример 4

16 Пример 5

17 Пример 6

18 Пример 7

19 Пример 8

20 Упражнение 11 Найдите объем многогранника, координаты (x, y) точек которого удовлетворяют системе неравенств Ответ: 24.

21 Упражнение 12 Найдите объем многогранника, координаты (x, y) точек которого удовлетворяют системе неравенств Ответ: 12.

22 Упражнение 13 Найдите объем многогранника, координаты (x, y) точек которого удовлетворяют системе неравенств Ответ: 8.

23 Упражнение 14 Найдите объем многогранника, координаты (x, y) точек которого удовлетворяют системе неравенств Ответ: 36.

24 Упражнение 15 Найдите прямую, проходящую через центр куба, для которой сумма квадратов расстояний от вершин данного куба до этой прямой: а) максимальна; б) минимальна. Решение. Пусть вершины куба имеют координаты (1, 1, 1), (-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1), (-1, -1, -1). Единичный направляющий вектор прямой, проходящей через центр куба с координатами (0, 0, 0) имеет координаты (x, y, z). Тогда квадраты расстояний от вершин куба до этой прямой равны соответственно 3 – (x + y + z) 2, 3 – (– x + y + z) 2, 3 – (x – y + z) 2, 3 – (x + y – z) 2, 3 – (– x – y + z) 2, 3 – (– x + y – z) 2, 3 – (x – y – z) 2, 3 – (– x – y – z) 2. Возводя в квадрат, складывая и учитывая, что x 2 + y 2 + z 2 =1, получим, что сумма квадратов расстояний равна 16 и не зависит от выбора прямой.