{ интервальные оценки параметров - некоторые распределения СВ связанные с нормальным распределением - доверительный интервал для выборочного среднего при. - презентация

1 { интервальные оценки параметров - некоторые распределения СВ связанные с нормальным распределением - доверительный интервал для выборочного среднего при известной дисперсии - доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании - доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем - доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии }

2 Статистика ã i, используемая в приближенном равенстве ã i = a i называется точечной оценкой неизвестного параметра по выборке. Пример: x f(x) Точечные оценки ã i не совпадают (за исключение редких случаев) с истинным значением неизвестных параметров a i.

3 Всегда имеется некоторая погрешность при замене неизвестного параметра его оценкой, т.е. | ã (x 1, x 2, …, x n ) – a| < : ãa Если эта вероятность близка к единице то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене ã на a равен. Чем меньше будет, тем точнее оценка ã. Вероятность того, что интервал ( ã - ; ã + ) со случайными границами накроет неизвестный параметр a, равна =. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. l x

4 Доверительным интервалом уровня для параметра ã выборки X = ( x 1, x 2, …, x n ) из генеральной совокупности F ( x, a ) называется интервал ( ã (1), ã (2) ) со случайными границами, такой что: Найти оптимальное решение по всем объектам как правило невозможно. Один из способов: задаться надежностью (обычно это число близкое единице: 0.9; 0.95; 0.99) и затем попытаться найти из всех интервалов уровня такой, у которого длина L будет наименьшей, то есть оценка будет наиболее точной. Число называется доверительным уровнем интервала. Оно характеризует надежность этого интервала. Увеличивая длину интервала, мы увеличиваем надежность. Но при этом уменьшается точность оценки.

5 Пусть 1, 2, …, n есть независимые СВ, имеющие стандартное нормальное распределение. Распределение суммы квадратов этих величин называется распределением Хи-квадрат с n степенями свободы. x f(x) n = 2 n = 1 n > Мах в точке x = n - 2 Гамма функция Эйлера Плотность распределения Charles Pearson ( )

6 Гамма функция Эйлера Плотность распределения Пирсона

7 Пусть 1, 2, …, n, 0 есть независимые СВ, со стандартным нормальным распределением. Распределением Стьюдента с n степенями свободы называют распределение x f(x) n = 1 1 Плотность распределения William Gosset (1876 – 1937) Сходится к СНЗ

8 Пусть даны случайные величины 1, 2, …, n, n+1, n+2, …, n+m - независимые СВ, имеющие стандартное нормальное распределение и величины, имеющие распределение хи-квадрат с n и m степенями свободы соответственно. Распределением Фишера со степенями свободы ( n, m ) – называется распределение F n, m Плотность распределения x f(x) 1 x = (n-2)m/n(m+2) Ronald Fisher (1890 – 1962)

9 Предположим, что параметр m неизвестен, а дисперсия 2 известна. F G (t) = (t) Используется таблица

10 Предположим, что параметр m неизвестен, а дисперсия 2 известна. F G (t) = (t) Выбираем Решаем неравенства и получаем :

11 Функция G(x норм. ) имеет хи-квадрат распределение с n – степенями свободы, не зависящее от неизвестного параметра 2 Обозначая h (n) - квантили этого распределения и фиксируя = 1 - приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью

12 Обозначая h (n-1) - квантили этого распределения и фиксируя = 1 - приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью Оба параметра неизвестны. m – мешающий параметр. Функция G (x норм. ) имеет хи-квадрат распределение с (n-1) – степенями свободы, не зависящее от неизвестного параметра 2

13 Обозначая t (n) - квантили этого распределения и фиксируя = 1 - приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью Выбирается функция G имеющая распределение Стьюдента с (n-1) – степенями свободы.

14 @ Найти доверительный инервал для среднего значения генеральной совокупности при больших объемах выборки (n > 30) Это точечные оценки По выборочным данным находим выборочные cреднее арифметическое для m и стандартное отклонение S

15 @ Задаемся доверительной вероятностью : = 0,95. Находим значение t, соответствующее заданной доверительной вероятности t 0,05 = 1,96.

16 @ Для контроля качества в 40 пробах стали GS50 определялось содержание углерода x (%С) и прочность на разрыв z (Н/мм ). Данные оформлены в виде таблицы чисел: X: 0.3, 0.33, 0.37, 0.36, 0.31, 0.29, 0.34, 0.39, 0.37, 0.38, 0.35, 0.32, 0.39, 0.3, 0.32, 0.32, 0.38, 0.37, 0.38, 0.33, 0.37, 0.33, 0.34, 0.33, 0.3, 0.34, 0.36, 0.33, 0.34, 0.36, 0.29, 0.3, 0.33, 0.32, 0.32, 0.38, 0.37, 0.34, 0.35, 0.36 X = X ( x 1, x 2, …, x 40 ) – выборка объемом n = 40 Z: 589, 614, 612, 572, 548, 537, 574, 570, 540, 575, 535, 593, 582, 538, 566, 562, 601, 587, 587, 614, 602, 544, 545, 562, 576, 596, 605, 575, 570, 550, 572, 555, 555, 518, 539, 557, 558, 587, 580, 560 Z = Z (z 1, z 2, …, z 40 ) – выборка объемом n = 40

17 @ Найти доверительные интервалы для m x и m z, теоретических значений содержания углерода и прочности на разрыв стали GS50. По таблице распределения Стьюдента определим приближенно: Напомним, что объем каждой из выборок : n = 40. Зафиксируем доверительную вероятность, близкую к единице : = 0.95.