Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 10. - презентация

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 10

2 План лекции Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Дифференциального уравнения второго порядка с разделяющимися переменными. Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач.

3 Алгебраические уравнения: примеры Линейное алгебраическое уравнение третьего порядка Нелинейное алгебраическое уравнение

4 Дифференциальные уравнения: примеры Линейное дифференциальное уравнение первого порядка Линейное дифференциальное уравнение второго порядка: уравнение гармонического осциллятора

5 Система нелинейных дифференциальных уравнений Система линейных дифференциальных уравнений

6 Дифференциальное уравнение: определение Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

7 Задачи теории дифференциальных уравнений Найти решение дифференциального уравнения F(y, dy//dx, ….)=0 значит найти такую функцию y(x), продифференцировав которую нужное число раз и подставив все эти значения в дифференциальные уравнения, получим значение левой части, равное нулю.

8 Дифференциальные уравнения – инструмент для изучения поведения функции, описывающей некоторый процесс, во времени В этом случае независимой переменной является время t Уравнение Мальтуса

9 Методы решения дифференциальных уравнений Решение уравнения Мальтуса методом разделения переменных

10 Что такое решение дифференциального уравнения?

11 Дифференциальные уравнения 2 порядка Алгоритм решения: 1.Введем новую функцию : u(x)=y(x) u (x)=f(x); U=F(x)+C

12 2.y=u(x)=F(x)+C Общее решение дифференциального уравнения 2 порядка

13 Пример:y-2x=0 1.y=u(x); u =2x du=2xdx U=x 2 +C 2.y=u(x)= x 2 +C;

14 dy=x 2 dx+Cdx Общее решение

15 Закон охлаждения кофе Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры Т(нач)=90 °С, находится в помещении, температура в котором равна Т 0 =20 °С, то уравнение, описывающее процесс охлаждения кофе, можно записать так:

16 Изоклины и нуль-изоклины Уравнение Ферхюльста

17 Устойчивость решений Пусть х 0 – стационарная точка дифференциального уравнения, то есть dx/dt=0, если x = х 0. Возьмем начальное значение х, близкое к х 0. Если при этом х будет стремиться к х 0, то решение устойчиво. Уравнение Ферхюльста Уравнение Мальтуса

18 Болезнь и лекарство: уравнение взаимодействия

19 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.