Функции и их производные Лекция 7. План лекции Определение функции. Основные элементарные функции и их графики. Предел функции. Понятие производной функции. - презентация

1 Функции и их производные Лекция 7

2 План лекции Определение функции. Основные элементарные функции и их графики. Предел функции. Понятие производной функции. Физический и геометрический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Правила нахождения производной функции.

3 Понятия переменной и функции Переменная задается множеством тех значений, которые она способна принимать. Это множество называется областью значений переменной Функция описывает зависимости между переменными при их совместном изменении. Если одной из переменных (независимой) придано определенное значение, то этим определяется значение другой (зависимой) переменной.

4 Еще одно определение функции Переменная y называется функцией от переменной х в области ее изменения Х, если по некоторому правилу (закону) каждому значению х из Х ставится в соответствие одно или несколько определенных значений y

5 Четной называется функция, если при изменении знака аргумента функция не меняется Нечетной называется функция, если при изменении знака аргумента, знак функции изменяется на противоположный

6 Способы задания функции 1. Табличный (подходит для дискретных функций); 2. Аналитический (выражается формулой) 3. Графический (выражается графиком на плоскости) Обозначения производной функции

7 Предел функции Число А называется пределом функции в точке х 0, если для любой бесконечно малой положительной величины ε, можно найти такую бесконечно малую величину δ. что для всех х х 0, удовлетворяющих неравенству |x- х 0 |< δ, выполняется неравенство |f(x)- A|< ε.

8 Основные теоремы о пределах: 1.Предел суммы двух функций равен сумме их пределов 2.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

9 Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела: 3.Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел знаменателя не равен нулю

10 Специальные пределы: Пример:

11 Определение производной функции Свободное падение тела в пустоте

12 Графическое определение производной Приращение значения функции в точке х 0 Производная – отношение приращения значения функции к приращению значения аргумента

13 Сводка формул для производных

14 Вычисление производных сложных функций

15 Как вычислить производные?

16 Производные более высоких порядков Если первая производная функции – скорость изменения функции, то вторая производная – ускорение (скорость изменения скорости)

17 Поведение функции Наибольшие и наименьшие значения функции Пределы значений функции Непрерывность и разрывы функций Нули и полюса функций

18 Анализ поведения функции Экстремумы функций Точки перегиба функций

19 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.