ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА Лекция 25. План лекции: Виды дисперсионного анализа и его характеристики Факторная и случайная дисперсия Анализ двухфакторных. - презентация

1 ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА Лекция 25

2 План лекции: Виды дисперсионного анализа и его характеристики Факторная и случайная дисперсия Анализ двухфакторных комплексов Заключение. Роль математики в профессии клинического психолога.

3 Виды дисперсионного анализа и его характеристики Раздел статистики, изучающий влияние факторов на изменчивость случайной величины, называется дисперсионным анализом. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ МНОГОФАКТОРНЫЙ ОДНОФАКТОРНЫЙ

4 Условия: изучаемые факторы должны быть независимыми; распределение выборочных данных должно соответствовать нормальному распределению или сводится к нему путем соответствующих преобразований х – =А+е, где – средняя арифметическая генеральной совокупности; х – конкретное значение переменной; А – доля отклонения переменной, связанная с влиянием данного конкретного фактора; е – остаточная часть отклонения, не объяснимая влиянием данного фактора.

5 Признаки, изменяющиеся под влиянием тех или иных причин, называются результативными. Сами причины называются факторами. Конкретное числовое значение фактора называется градацией (или уровнем) фактора. Степень изменения всех признаков и отклонение их от средней арифметической ряда характеризуется дисперсией D(х):

6 D общ = D факт + D случ - критерий Фишера Нулевая гипотеза: регулируемый фактор не оказывает систематического действия на признак. Наблюдаемые различия между групповыми средними случайны.

7 Нулевая гипотеза Если F>Fкр (при вероятности Р=0,95), то влияние фактора существенно. Если F

8 Этапы дисперсионного анализа: Представить данные в виде таблицы. Номер наблюдения (j) Уровни фактора(i) Ia 1x 11 x 21 x 31 x i1 x a1 2x 12 x 22 x 32 x i2 x a2... jx 1j x 2j x 3j x ij x aj nx 1n x 2n x 3n x in x an Суммы по группам: x 1 x 2 x 3 x i x a Средние по группам: i – индекс уровня фактора (от 1 до а); j – индекс варианты (от 1 до n).

9 Общее варьирование всех вариант (х ij ), независимо от того, в какой группе они находятся, вокруг общей средней характеризуется дисперсией D общ. где N=an– число всех вариант; df общ. = N–1 – число степеней свободы.

10 Варьирование групповых средних или средних каждого уровня данного изучаемого фактора вокруг общей средней, характеризуется факторной дисперсией D факт. df факт = a – 1– число степеней свободы. n i – среднее число вариант в каждой группе, n – если число вариант в группах одинаково.

11 Варьирование вариант х ij внутри каждой группы вокруг каждой групповой средней характеризует случайная или остаточная дисперсия D случ. df случ =N - a – число степеней свободы. Причем: (N – a) + (a – 1) = N – 1

12 Формулы для однофакторного дисперсионного анализа Источник варьирования Сумма квадратов SS (числитель) Число степеней свободы df (знаменатель) Формулы для дисперсии MS Общее (все варианты) N – 1 Групповые средние (фактор А) a –1 Варианты внутри групп (случайные отклонения) N – a

13 Пример. Провести однофакторный дисперсионный анализ для выяснения влияния реагентов на синтез лекарственного препарата (выход-усл.ед). F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 x 1j x 2j x 3j x 4j = 43,2567,75 Предположения: В генеральной совокупности выборки подчиняются нормальному закону распределения Выборки однородны (дисперсии равны)

14 F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 x 1j x 2j x 3j x 4j =43,2567,75 = = F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 x 2 1j x 2 2j x 2 3j x 2 4j Таблица 1 Таблица 2

15 Вычисления: Сумма квадратов SS общ для общей вариации: Сумма квадратов SS факт для вариации между группами: Средний квадрат, характеризующий факторную дисперсию MS факт.: N x x n SS ij iфак 5,16 3,49.5 фак df SS МS

16 Сумма квадратов SS случ для вариации внутри групп: SS сл =SS общ – SS фак = 59 – 49,5=9,5 т.к MS случ < MS фак, а F табл =3,49 для Р=0,95 и df сл =12 и df фак =3 ВЛИЯНИЕ ФАКТОРА ДОСТОВЕРНО!

17 Сила влияния фактора Сила влияния фактора определяется: где В нашем случае... 2 случфакт А DD D

18 Вывод: 83% от действия всех факторов приходится на вид реагента, 17% – приходится на долю случайных факторов. Для выявления наиболее эффективного реагента построим график

19 Достоверность влияния фактора Дисперсионный анализ позволяет установить, существуют ли достоверные различия между отдельными уровнями фактора. n – число вариант в каждой группе. Отношение разницы d к ее ошибке S d, т.е. t=, должно быть таким, чтобы оно гарантировало достоверность не менее чем при Р=0,95.

20 Коэффициент Q, рассчитан для разного количества групп а и степеней свободы df случ. d 12 =4-3,25=0,7; d 23 =6-3,25=2,75; Q=4,2 для df случ =12 и а=4; t 12 < Q, разница не достоверна! t 23 > Q, разница достоверна!

21 Вывод: Вид реагента достоверно влияет на выход лекарственного препарата. Наибольшую эффективность имеет фактор (реагент), градация которого равна F 4.

22 Двухфакторный дисперсионный анализ: содержание фосфора (мг/100 г) в органах животных сердцелегкиепеченьпочкивсего Ж1 86,7102,7204,6184,6576,6 Ж2 88,4108,1213,2183,4593,1 Ж3 81,299,8201,1179,0561,1 всего 256,3310,6618,9547,01732,8

23 Нулевая гипотеза: Компонента дисперсии с.к.с.с.Ср.к. Строки128,375264,188 Столбцы31253, ,7 Остаточная30,36565,061 полная31411,8411- У животных нет различия в уровне содержания фосфора в органах Нулевая гипотеза отклоняется

24 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2005, с Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.