Фракталы Определение размерности (F. Hausdorff, 1919) (для компактного множества в произвольном метрическом пространстве) Мотивация : (D=1,2,3) - презентация

1 Фракталы Определение размерности (F. Hausdorff, 1919) (для компактного множества в произвольном метрическом пространстве) Мотивация : (D=1,2,3)

2 Фракталы Кривая Коха. Внутренняя размерность.

3 Фракталы Ковер Серпинского. Клеточная размерность.

4 Фракталы Фрактал – это множество, для которого хаусдорфова размерность D строго больше его топологической размерности D T Определение (B. Mandelbrot):

5 Фракталы Береговая линия Британии (L.F. Richardson, 1961)

6 Фракталы Финансовые временные ряды. Клеточная размерность. Фракталы

7 Финансовые временные ряды. Показатель Херста H Для гауссовых случайных процессов D=2-H Фракталы

8 Финансовые временные ряды. Показатель Херста H

9 Фракталы Сравнение результатов использования различных аппроксимаций для модельных фракталов

10 Фракталы Финансовые временные ряды. Асимптотика для площади покрытий.

11 Фракталы Финансовые временные ряды Размерность минимального покрытия Индекс фрактальности Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение отрезка и рассмотрим минимальное покрытие графика f(t). Тогда:

12 Фракталы Финансовые временные ряды. Размерность минимального покрытия. Индекс фрактальности Введем обозначение: Поскольку Назовем - индексом фрактальности - размерностью минимального покрытия, где то

13 Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Быстрый выход на степенную ассимптотику.

14 Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Типичное поведение ряда и функции

15 Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Быстрый выход на степенную ассимптотику. Типичная диаграмма для вычисления при длине исходного ряда 4096 дней:

16 Эффект увеличения крупномасштабных колебаний при уменьшении мелкомасштабных. Введем где,

17 Эффект увеличения крупномасштабных колебаний при уменьшении мелкомасштабных. Индикатор Старченко.

18 Модели обвалов на финансовом рынке 1. Инвесторы и спекулянты. Самоорганизованная критичность (Back P). 2. Модели взаимодействующих агентов (Sorgnette D, Bouchaud J-P, Lux T) K>0

19 Модели обвалов на финансовом рынке 2. a) Решетчатые модели. Модель Изинга. Перколяция.

20 Модели обвалов на финансовом рынке 2. a) Иерархические модели.

21 Модели обвалов на финансовом рынке 2. a) Иерархические модели. Логопериодические колебания.

22 Логопериодические колебания.

23

24

25

26 Модели обвалов на финансовом рынке 1. Инвесторы и спекулянты. Самоорганизованная критичность (Back P). 2. Модели взаимодействующих агентов (Sornette D, Bouchaud J-P, Lux T) K

27 Minority Game (Arthur W.B., Challet D., Lux T., Marsili M., Zhang Y-C)

28 Другие разделы экономики: 1. Распределение богатства (Yakovenko V., Dragulescu A., Романовский М) 2. Фирмы.(Amaral L., Buldyrev S., Stanley H.) 3. Влияние рекламы на объем продаж (Sornette D.) 4. Макроэкономика и финансовая система (Маслов В.П., Полтерович В.М., Поспелов Д.С. Чернавский Д.С.)

29 Литература: 1. Р.Н.Мантенья, Г.Ю.Стенли. Введение в эконофизику. URSS. М.: Сорнетте Дидье. Как предсказывать крахи финансовых рынков. Критические события в комплексных финансовых системах. М.: Интернет-Трейдинг, М.Ю.Романорвский, Ю.М.Романовский. Введение в эконофизику. М.: Bouchaud J.-P., Potters M. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management. Cambridge, New York, Cambridge University Press, Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A 339. Р. 591 – Dubovikov M.M., Starchenko N.S. Variation index and its applications to analysis of fractal structures // Sci. Almanac Gordon Р. 1 – Mantegna R.N., Stanley H.E. Scaling behavior in the dynamics of an economic index // Nature Р. 46 – Gabaix X., Gopikrishnan P., Plerou V., Stanley H.E. A theory of power-law distri- butions in financial market fluctuations // Nature Р. 267 – Per Bak, M. Paczuski, M. Shubik, Price Variations in a Stock Market with Many Agents, Working paper , Santa Fe Institute Economics Research Pro- gramm, Challet D., Chessa A., Marsili M., Zhang Y-C. From minority games to real mar- kets // Quantitative Finance (1). Р. 168 – 176

30 Спасибо за внимание