ЧТО ТАКОЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ? Повторение. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Если область определения функции f есть множество всех натуральных чисел N= {1, 2,3,... }, - презентация

1 ЧТО ТАКОЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ? Повторение

2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Если область определения функции f есть множество всех натуральных чисел N= {1, 2,3,... }, то о ее значениях f{n), n=1,2,..., говорят, что они образуют бесконечную последовательность или являются членами бесконечной последовательности

3 ОБОЗНАЧЕНИЕ Члены последовательности обозначаются через u n = f(n), n=1,2, … Запись u 1, u 2, u 3,…, u n,... обозначает последовательность, первый член которой u 1 = f(1), второй –u 2 =f(2), третий­ u 3 =f{З), n -ый – и n =f{n), где каждый член последовательности определяется своим номером. Читают u 1 - «u первое», u 2 - «u второе», u 3 - «u третье», u n - «n энное»,... - «и так далее» (в случае бесконечной последовательности).

4 Задание последовательности Последовательность считается заданной, если известно правило, по которому можно определить любой ее член u n, n=1,2,..., (для конечной последовательности также задается и число членов).

5 Способы задания последовательности: табличный и графический способы задания используются в случае конечной последовательности; аналитuческий способ задает последовательность при помощи формулы общего члена и n =f (n), n=1,2,..., определяющей общий член и n через его номер n; рекуррентный способ задания выражает общий член последовательности через предыдущие; логический способ задания, словесно oписывaeт закон соответствия между натуральными числами и соответствующими членами последовательности.

6 Индексы - для обозначения большого количества разных чисел Символы u 1, u 2,u 3, u 4,... обозначают, вообще говоря, разные числа, хотя их значения могут и совпадать (т. е, члены последовательности с разными номерами могут и не быть различными). Числа 1,2,3,... называются индексами. Раз индексы разные, то и символы разные, хотя буква в них используется одна и та же. Нумерация может начинаться с пpoизвольного номера n 0 ; такие бесконечные наборы чисел обозначают через {а n }. Однако числовую последовательность всегда можно представить как бесконечный набор занумерованных чисел.

7 Определение последовательности Числовая последовательность есть функция, заданная на множестве натуральных чисел: которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие единственное действительное число u n последовательностью называется функция натурального аргумента: u n =f(n)

8 СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1) Исследование области определения, области значений последовательности ­ функции. По области определения (хотя это всегда множество натуральных чисел) определяют является ли последовательность конечной или бесконечной, а по области значений определяют, является ли она числовой или нечисловой.

9 2) Исследование последовательности на возрастание и убывание (на монотонность). возрастающая убывающая неубывающая невозрастающая сmационарная колеблющаяся Последовательности (1) 1; 2; 3; 4;... (2) 2; 4; 6; 8;... ; (3) 2; 4; 8; 16;... являются возрастающими. Замечаем, что числа (члены последовательностей) упорядочены, т. е. большим номерам соответствуют всегда большие (или всегда меньшие) числа; такие последовательности называются монотонными.

10 3) Исследование последовательности на ограниченность (ограниченность и сверху, и снизу). Последовательность {а n } называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что а n M для любого n=1;2; 3;..., ограниченной снизу, если существует такое число т, что а n т для любого n= 1; 2; 3;....

11 4) Исследование последовательности на периодичность. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное t N (период), что, начиная с некоторого номера n, выполняется равенство а n+t = а n. Если t есть период последовательности {а n }, n=1, 2, 3,..., то 2t,3t, 4t и т. д. - тоже периоды. Пример. Последовательность 1; 3; 3; 4; 1; 3; 3; 4; 1; 3; 3; 4; 1; 3; 3;... является периодической с периодом t=4. эту последовательность можем обозначить так: {(1; 3; 3; 4)} и с ее помощью описать так называемую самопересекающуюся спираль.

12 5) Определение наименьшего и наибольшего членов последовательности, нулей последовательности. A k - наибольший (наименьший) член последовательности, если a i a k (a i a k ) для любо­го i = 1; 2;... ; k-1 ; k + 1;.... Задача об отыскании максимального члена последовательности зачастую сводится к исследованию ее на монотонность.