§7. Интеграл Коши. g- односвязная. - Не зависит от выбора ! - презентация

1 §7. Интеграл Коши. g- односвязная

2 - Не зависит от выбора !

3

4

5 Интегральная формула Коши

6 Замечания. 1) Если g- многосвязная, то полная граница

7 Условия Гельдера.

8 5) Формула верна и для C + g, который можно стянуть к z 0, оставаясь внутри g.

9 Следствия интегральной формулы Коши. 1) Формула среднего значения. g- односвязная

10 Формула среднего значения Формула Гаусса

11 2)Принцип максимума модуля аналитической функции Доказательство.

12

13

14

15

16

17

18 Если

19 Замечания. 1) Принцип минимума модуля 2) Теорема верна и для многосвязной области.

20 Геометрическая интерпретация Линии равного уровня функций u(x,y), v(x,y) не замкнуты.

21 §8. Интеграл типа Коши. C- кусочно-гладкая Интеграл типа Коши

22 Теорема 8.1 Доказательство. Пусть

23

24

25 Замечание. Теорема 8.2 Теорема 8.3 Доказательство. Т. 8.1+Замечание. Метод математической индукции. непрерывна. непрерывная

26 Теорема 8.4. (Основная!). Если f ( z ) C (g), то для n и z g f ( n ) ( z ) C ( g ). Доказательство. Пусть Интегральная формула Коши - интеграл типа Коши

27 Теорема Морера Теорема 8.5. (Морера) Если g-односвязная,для замкнутого контура g то Доказательство. По т по т. 8.4.

28 1) Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши. 2) Теорема 8.4 и теорема Морера справедливы и для многосвязных областей. Замечания.

29 Теорема Лиувилля Если f(z) C (E) и f(z) const, то при z, |f(z)|. Другая формулировка: Если f(z) C (E) и M: | f ( z )| M, то f(z) const. E- комплексная плоскость, НЕ включающая.

30 Доказательство. независимо от R

31 Определение. f(z) C (E) (z ) называется целой функцией. f(z)=z n. Отображение области однолистности : сектор раскрыва 2 /n отображается на всю комплексную плоскость. Целая функция const не может быть ограничена по абсолютной величине. Следствие. Невозможно отобразить конформно плоскость с выколотой точкой или расширенную плоскость на единичный круг !

32 §9. Интегралы, зависящие от параметра. C- кусочно-гладкая 1) 0 C (z, 0 )= f(z) C (g): / z(z, 0 ) C (g). 2) z, >0 | z+ z, z, |< при | z|,| |

33 3) / z(z, ),…, n / z n (z, )- также непрерывны по совокупности переменных. Замечание. Из 2 => (z, ) непрерывна по z в z g равномерно по, т.е. для фиксированного z 0 g и 0 z 0 >0 | z 0 + z, z 0, |< при | z|< для всех C одновременно. Аналогичное утверждение справедливо и для / z(z, ). Доказательство. От противного, аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой области (Т. 3.1).

34 Теорема 9.1 Если (z, ), z g, C удовлетворяет условиям 1-3, то

35 Доказательство. 3 этапа: (Замечание к 2.)

36

37 (Замечание к 2.) Аналогично 1).