4. Линейность изображений. a) Многочлен.. 5. Теорема запаздывания. - презентация

1 4. Линейность изображений. a) Многочлен.

2

3 5. Теорема запаздывания.

4

5 Изображение прямоугольного импульса.

6 6. Изображение производной кусочно- непрерывная

7 (по частям)=

8 кусочно- непрерывная

9

10 7. Изображение интеграла.

11

12

13 8. Изображение свертки.

14

15 п.3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

16

17 Пусть

18

19

20

21

22 Интеграл Дюгамеля.

23 п.4. Теорема Меллина. Пусть и (равномерно относительно аргумента) (равномерно ограничен по x )

24 Тогда

25 Замечание. Несобственный интеграл вычисляется вдоль прямой Re p=x>a и понимается в смысле главного значения:

26

27 Доказательство. Рассмотрим и докажем:

28 Замечание: на [0,T] интеграл сходится равномерно по t. 2) Покажем, что I(x, t) не зависит от x при x > a. Т.к.

29 т. Коши

30 интегралы по горизонтальным отрезкам дадут в пределе 0. Интегралы по вертикальным прямым перейдут в несобственные интегралы Т.к.

31 3) Докажем, что I ( x, t ) 0, t < 0. Рассмотрим I( x, t ) при t < 0

32 т. Коши л. Жордана для Re z > 0

33

34 Покажем, что

35 =(интеграл можно вычислить с помощью вычетов, учитывая, что контур обходится по часовой стрелке -)=

36 Замечание. Если аналитическое продолжение F(p) в левую полуплоскость (Re p< a), имеющее конечное число N изолированных особых точек p n и удовлетворяющее условиям леммы Жордана, то

37 В частности, если F(p)=1/P n (p), где все нули полинома P n (p) лежат в левой полуплоскости Re p

38 Пример.

39

40

41 осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.

42 п.5. Изображение произведения.

43

44

45 Пример.

46 ={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке- в отрицательном направлении}= {q=p- полюс 2-го порядка }

47 Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в i ;