Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в изучении информатики. - презентация

1 Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в изучении информатики

2 Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе информатики 5-9 классов.

3 Информация – это … Информация – одно из базовых понятий в науке (как материя, энергия), поэтому нет более четкого определения: невозможно выразить через более простые понятия объясняется только на примерах или в сравнении с другими понятиями Н. Винер, «Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине» «Информация есть информация, а не материя и не энергия».

4 Статистика

5 Статистические данные Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков 5 часов Математика 6 класс Средние результаты измерений Понятие о статистическом выводе на основе выборки Понятие и примеры случайных событий 5 часов АлгебраАлгебра 7 класс 8 класс Математика Табличные вычисления на компьютере (18 час)00 Электронные таблицы MS Excel. Назначение и возможности.11 Операции с ячейками таблицы.11 Проверка орфографии. Автоматизация ввода данных.0,5 Работа с формулами. Абсолютная и относительная адресация.11 Обработка данных с помощью математических функций.0,51,5 Обработка данных с помощью статистических функций.11 Создание и редактирование диаграмм.11 Печать электронных таблиц.0,5 Практикум: работа VI04 Информатика (7 класс)

6

7 Статистические характеристики Средним арифметическим Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Размахом ряда Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

8 Модой Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду. Медианойупорядоченного рядачисел Медианой произвольного ряда чисел Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

9 Задача В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады. Для представленного в таблице ряда чисел найти среднее арифметическое, размах и моду. Какой смысл каждого из этих показателей?

10

11

12

13

14 Наглядное представление статистической информации Столбчатая диаграмма Столбчатая диаграмма используется тогда, когда хотят проиллюстрировать распределение данных, полученных в результате статистических исследований.

15 В таблице записаны результаты ежедневного измерения на метеостанции в полдень температуры воздуха ( в градусах Цельсия) в течение первой декады марта. Найти среднюю температуру в полдень в эту декаду. Составить таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый день из дней декады. Задача

16 Решение

17

18 Динамику изменения статистических данных во времени иллюстрируют с помощью полигона (графика)

19 Обработка результатов исследований (опросов) Проект «Школьная форма – «ЗА» и «ПРОТИВ»

20 Комбинаторика

21 НЕТ в программе!!! ! Множество и комбинаторика Множество. Элемент множества Подмножество Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера 5 часов7 класс 8 класс Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. 10 часов9 класс Математика Информатика ЕГЭ по информатике (А12) - есть !

22 КОМБИНАТОРИКА – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

23 Что нужно знать!!! ! например ·10=90если на каждом шаге известно количество возможных вариантов выбора, то для вычисления общего количества вариантов нужно все эти числа перемножить; например, в двузначном числе мы можем выбрать первую цифру 9 способами (она не может быть нулем), а вторую – 10 способами, поэтому всего есть 9·10=90 двузначных чисел

24 9·10=90 59·10= =180 2 или 5если мы разбили все нужные нам комбинации на несколько групп (не имеющих общих элементов!) и подсчитали количество вариантов в каждой группе, то для вычисления общего количества вариантов нужно все эти числа сложить; например, есть 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, и 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 2, поэтому 90+90=180 трехзначных чисел оканчиваются на 2 или на 5 Что нужно знать!!! !

25 9·10=90 510·10= штук или =180.если в предыдущем случае группы имеют общие элементы, их количество нужно вычесть из полученной суммы; например, есть 9·10=90 трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, и 10·10=100 трехзначных чисел, начинающихся на 5; в обе группы входят числа, которые начинаются и заканчиваются на 5, их всего 10 штук, поэтому количество чисел, которые начинаются или заканчиваются на 5, равно =180. Что нужно знать!!! !

26 если есть n различных элементов, число их различных перестановок равно факториалу числа n, то есть произведению всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1·2·3·…·(n-1)·n например, три объекта (А, Б и В) можно переставить 6 способами (3!=1·2·3=6): (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б) и (В, Б, А) (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б) и (В, Б, А). Что не мешает знать!!! !

27 если нужно выбрать m элементов из n (где n m) и две комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в разном порядке, считаются различными, число таких комбинаций (они называются размещениями) равно например, в соревновании пяти спортсменов призовые места (первые три) могут распределиться 60 способами, поскольку. Что не мешает знать!!! !

28 если нужно выбрать m элементов из n (где n m) и порядок их расположения не играет роли, число таких комбинаций (они называются сочетаниями) равно например, выбрать двух дежурных из пяти человек можно 10 способами, поскольку. Что не мешает знать!!! !

29 Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых используются только четные цифры? 1) 1)1252) 250 3) 5004) 625 Решение: 1) первой цифрой может быть любая четная цифра, кроме нуля (иначе число не будет четырехзначным) – это 2, 4, 6 или 8, всего 4 варианта x??? Вариантов4 2) предположим, что первая цифра выбрана; независимо от нее на втором месте может стоять любая из четных цифр – 0, 2, 4, 6 или 8, всего 5 вариантов: xy?? Вариантов45 Задача

30 3) аналогично находим, что последние две цифры также могут быть выбраны 5-ю способами каждая, независимо друг от друга и от других цифр (первой и второй): xyzw Вариантов4555 4) общее количество комбинаций равно произведению 4 · 5 · 5 · 5 = ) таким образом, правильный ответ – 3.

31 Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых ровно две девятки, стоящие рядом? 1) 1)2122) 225 3) 2434) 280Решение: 1) 1)возможны три случая: 99, 99 и 99, где жирная точка обозначает некоторую цифру, не равную 9 2) для каждого из этих случаев нужно подсчитать количество вариантов и эти числа сложить 3) в варианте 99 две последних цифры могут быть любыми, кроме девятки (по 9 вариантов выбора): 99xy Вариантов1199 Ещё пример задания

32 поэтому всего получаем 1·1·9·9 = 81 вариант 4) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а последняя может быть любой, кроме девятки (9 вариантов): x99y Вариантов8119 поэтому всего получаем 8·1·1·9 = 72 варианта 5) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а последняя может быть любой, кроме девятки (9 вариантов): xx99 Вариантов8911

33 8 · 9 · 1 · 1 = 72 поэтому всего получаем 8 · 9 · 1 · 1 = 72 варианта 6) общее количество вариантов равно сумме = ) таким образом, правильный ответ – 2.

34 Виктор хочет купить пять разных книг, но денег у него хватает только на три (любые) книги. Сколькими способами Виктор может выбрать три книги из пяти? 1) 102) 203) 304) 60 Решение (вариант 2, формулы комбинаторики): 1) сочетания 1) нам нужно выбрать 3 объекта из 5, причем порядок выбора здесь не важен – нам нужны разные сочетания сочетаний, 2) зная формулу для вычисления количества сочетаний, сразу находим (при m = 3 и n = 5) 3) таким образом, правильный ответ – 1. Еще пример задания:

35 Вероятность и информация

36 Информация и информационные процессы (10 час) Язык как способ представления информации: естественные и формальные языки Дискретная форма представления информации. Компьютерное представление текстовой информации Алфавитный и вероятностный Количество информации как мера уменьшения неопределенности знания. Определения количества информации. Алфавитный и вероятностный подход к определению количества информации. ВероятностьЧастота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. 5 часов 9 классМатематика Информатика (9 класс)

37 Информация. Системы счисления (30 часов) Понятие «информация» в науках о неживой и живой природе, обществе и технике Количество информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Задание «Определение количества информации». Практическое задание «Перевод единиц измерения количества информации». Алфавитный и вероятностный подход к определению количества информации. Формула Шеннона Решение задач. Практическое задание «Определение количества информации». Информатика (11 класс, профильный курс)

38 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ – это раздел математики, изучающий закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений (статистические закономерности). Вероятность - отношение числа случаев благоприятствующих событию А, к числу всех возможных случаев называют вероятностью события А.

39 Вероятность события – число от 0 до 1, показывающее, как часто случается это событие в большой серии одинаковых опытов. p = 0событие никогда не происходит (нет неопределенности) p = 0,5 событие происходит в половине случаев (есть неопределенность) p = 1событие происходит всегда (нет неопределенности) Полная система событий: одно из N событий обязательно произойдет (и только одно!). Вероятностный подход p i – вероятность выбора i -ого варианта ( i = 1,…, N )

40 Количество информации в сообщении о некотором событии зависит от вероятности этого события. Сообщение о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, несёт 1 бит информации.

41 I – количество информации в битах N – количество равновероятных событий бит Формула Хартли (1928) Пример: В аэропорту стоит 6 самолетов, из них один летит в Москву. Сколько информации в сообщении «В Москву летит второй самолет»? бит

42

43 Вероятностный подход Вычисление вероятности Задача. В пруду живут 100 рыб, из них 20 карасей, 30 пескарей, а остальные – окуни. Какова вероятность поймать карася (пескаря, окуня), если все рыбы одинаково голодны? Формула: число «нужных» событий общее число событий Решение: караси пескари окуни Как иначе посчитать p 3 ? ? ?

44 Вероятностный подход Как посчитать информацию, если варианты не равновероятны? – вероятность выбора i -ого варианта ( i = 1,…, N ) Идея: если случается менее вероятное событие, мы получаем больше информации. Если произошло событие i, мы получаем информацию Клод Шеннон ( ) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории информации и криптографии.

45 Вероятностный подход Задача 1. В пруду живут 100 рыб, из них 20 карасей, 30 пескарей, а остальные – окуни. Сколько информации несет сообщение о том, что рыбак поймал карася (пескаря, окуня), если все рыбы одинаково голодны? Формула: Решение: карась пескарь окунь бита бит

46 Вероятностный подход Задача 2. Посчитать, чему равна информация в сообщении «Сейчас идет снег» зимой и летом. Решение: Событие 1 – идет снег, событие 2 – снег не идет. летом зимой летом бита зимой бит Что еще нужно для решения? ?

47 Формула Шеннона (1948) Неопределенность (энтропия системы) Система двух событий: 01 0,5 1 I Средняя информация (неопределенность) максимальна, когда все события равновероятны. p1p1 p 2 = 1 – p 1 Когда неопределенность наибольшая? ? Информация = снятая неопределенность!

48 Литература Н. Угринович. Информатика и информационные технологии (10-11 кл.) Ю.Н. Макарычев. Алгебра: элементы статистики и теории вероятности (7-9кл.) И.Семакин. Базовый курс (7-9 кл.)