Методы решения тригонометрических уравнений Выполнили: Винник Эдгар, Гребенщикова Каролина. Выполнили: Винник Эдгар, Гребенщикова Каролина. Руководитель: - презентация

1 Методы решения тригонометрических уравнений Выполнили: Винник Эдгар, Гребенщикова Каролина. Выполнили: Винник Эдгар, Гребенщикова Каролина. Руководитель: Щепеткова Н.В год 2010 год

2 Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a.. sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a.. Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы: 1. (sin x = a) x = arcsin a +2πn или x = π-arcsin a +2πn, nεZ. 2. (cos x = a) x = arccos a +2πn или x = -arccos a +2πn, nεZ. 3. (tg x = a) x = arctg a +πn 4. (ctg x = a) x = arcctg a +πn, nεZ.

3 Способы решения тригонометрических уравнений: Способы решения тригонометрических уравнений: решение линейных и квадратных уравнений относительно тригонометрических функций, уравнивание одноименных функций, приведение тригонометрических уравнений к уравнению относительно одной функции одного и того же аргумента, графическое решение линейного уравнения относительно синуса и косинуса и с решение уравнений вида f(x)g(x)=0. решение линейных и квадратных уравнений относительно тригонометрических функций, уравнивание одноименных функций, приведение тригонометрических уравнений к уравнению относительно одной функции одного и того же аргумента, графическое решение линейного уравнения относительно синуса и косинуса и с решение уравнений вида f(x)g(x)=0. Вы умеете решить любое линейное и квадратное уравнение. И научились решать простейшие тригонометрические уравнения. Это значит, что вы сможете решить любое линейное или квадратное уравнение относительно sin x=a, cos x=a, tg x=a или Вы умеете решить любое линейное и квадратное уравнение. И научились решать простейшие тригонометрические уравнения. Это значит, что вы сможете решить любое линейное или квадратное уравнение относительно sin x=a, cos x=a, tg x=a или ctg x=a. ctg x=a.

4 3sin x+2=0 - линейное уравнение относительно выражения sin x ; из него получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin x=-2/3. По известной формуле, 3sin x+2=0 - линейное уравнение относительно выражения sin x ; из него получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin x=-2/3. По известной формуле, x=arsin(-2/3)+πn. x=arsin(-2/3)+πn. Ответ: {arsin(-2/3)+2πn; π-arsin(-2/3)+2πn, nεZ} Ответ: {arsin(-2/3)+2πn; π-arsin(-2/3)+2πn, nεZ}

5 Второй метод состоит в том, что приравниваются друг к другу два синуса, либо два косинуса, либо два тангенса, либо два котангенса. То есть уравнение сводится к виду sin y=sin z, либо cos y=cos z, либо tg y=tg z, либо ctg y=ctg z, где y и z - выражения от неизвестного х. Из этого следует, что (sin y=sin z) (y=z+2πn или y=π-z+2πn),

6 (cos y=cos z) (y=± z+2πn), (cos y=cos z) (y=± z+2πn),

7 (tg y=tg z) (y=z+π),

8 (ctg y=ctg z) (y=z+2πn или y=π-z+2πn),

9 a = -1 a = 0 a = 0 a = 1 a = 1 sinx = –1 sin x = 0 sin x = 0 sin x = 1 sin x = 1 x = –π/2 + 2πk, kεZ x = –π/2 + 2πk, kεZ x =πk, kεZ x =πk, kεZ x=π/2+2πk,kεZ x=π/2+2πk,kεZ Частные случаи: yyy x x x –π/2 π π/2 0

10 a = –1 a = 0 a = 1 cos x = –1 cos x = 0 cos x = 1 x = π+2πk, kεZ x = π+2πk, kεZ x =π/2+πk, kεZ x =π/2+πk, kεZ x = 2πk, kεZ x = 2πk, kεZ xxx π/2 π0

11 Бывает и так, что вы не можете применить ни один из двух рассмотренных методов: не получается ни линейных, ни квадратных уравнений и не приравниваются ни синусы, ни косинусы, ни тангенсы, ни котангенсы. В таком случае попробуйте преобразовать имеющиеся выражения, стараясь сделать одинаковыми выражения, стоящие под знаком синуса, косинуса, тангенса и котангенса; выразить все имеющиеся синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы через один из них.