Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва - 2007 Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором. - презентация

1 Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

2 Лекция 12. Лекция 12. Пример приведения сил инерции при вращательном движении тела. Приведение сил инерции точек при плоском движении твердого тела. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела. Балансировка..

3 Приведение сил инерции точек твердого тела при плоском движении – Рассмотрим тело, совершающее плоское движение, и имеющее плоскость материальной симметрии параллельную плоскости движения. Это движение может быть разложено на поступательное движение с центром масс тела C и вращательное вокруг подвижной оси z C, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения xCxC C yCyC zCzC ε В соответствии с этим силы инерции поступательного движения приводятся к главному вектору сил инерции, приложенному в центре масс, и главному моменту сил инерции (паре сил, лежащей в плоскости движения): Пример: Однородный стержень OA массы M длиной l, шарнирно подвешенный в точке O к вращающейся оси со угловой скоростью ω, находится в относительном равновесии под углом к оси вращения. Определить силы инерции и угол. ω O C x y z A Силы инерции в каждой точке стержня пропорциональны осестремительному ускорению, величина которого в свою очередь пропорциональна расстоянию точки до оси вращения (треугольная эпюра распределения). Элементарная сила инерции, приложенная к элементарной массе длины ds, расположенной на расстоянии s от точки О, равна: s ds dФdФ Главный вектор сил инерции находится интегрированием dФ по длине стержня: Этот же результат можно гораздо проще получить используя ускорение центра масс: Главный момент сил инерции нельзя найти по формуле M Ф 0 = I x x, т.к. стержень OA находится в относительном равновесии и x = x = 0. Однако силы инерции от вращения стержня относительно оси z создают момент сил инерции: Таким образом, силы инерции приводятся к главному вектору, приложенному в центре приведения O, и главному моменту относительно этого центра. Полученную систему силы и пары можно заменить одной силой, равнодействующей сил инерции, приложенной в точке, отстоящей от центра приведения по перпендикуляру к направлению силы на расстоянии: d Угол можно определить из уравнения относительного равновесия: Таким образом, равнодействующая сил инерции приложена в центре тяжести эпюры распределения сил инерции. Такому расположению соответствует центр качаний O 1. Лекция 12

4 Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси – Тело произвольной формы вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. ω ε A C B x y z O 1. Освобождаем объект движения от связей и заменяем их реакциями: 2. Показываем внешние задаваемые (активные) силы: 3. Добавляем к системе сил силы инерции. В каждой точке тела прикладываем вращательную и центробежную силы инерции: MkMk K 4. Полученная система сил удовлетворяет уравнениям равновесия: 5. Силы инерции в общем случае приводятся к главному вектору и главному моменту сил инерции. Определим величину и направление компонент главного вектора сил инерции: O C x y Выбираем центр приведения в начале координат и прикладываем компоненты главного вектора сил инерции в этом центре: 6. Определим компоненты главного момента сил инерции относительно центра приведения как осевые моменты непосредственным суммированием по каждой из компонент сил инерции, приложенных в точке: K x y MkMk 6. Запишем уравнения равновесия полученной системы сил с учетом динамических добавок от возникающих сил инерции: Из первых пяти полученных уравнений можно определить реакции подшипников. Последнее уравнение является дифференциальным уравнением вращения. Динамические добавки зависят от положения центра масс тела и значений центробежных моментов инерции этого тела. zkzk xkxk ykyk 1313 Лекция 12 ( продолжение – 12.2 )

5 Лекция 12 ( продолжение – 12.3 ) Балансировка вращающегося тела – Добавление сил инерции к действующим силам есть результат введения подвижной системы координат, связанной с вращающимся телом. Полученные уравнения представляют собой относительные уравнения равновесия, записанные для этой подвижной системы координат: 1414 ω ε A C B x y z O MkMk K zkzk xkxk ykyk Из 4 и 5 уравнений системы определим эти составляющие: Реакции подшипников разложим на две составляющие, условно статическую и дополнительную (динамическую), например: Модуль полной дополнительной динамической реакции равен: Центробежные моменты инерции, вычисляемые относительно подвижных осей, не изменяются при вращении тела. Модуль полной дополнительной реакции зависит от угловой скорости и ускорения. В случае установившегося вращения ( = 0 ), величина полной дополнительной реакции пропорциональна квадрату угловой скорости. В современных машинах угловые скорости по величине могут быть значительными, так что дополнительные динамические реакции могут во много раз превышать статические реакции. Кроме того, направления этой динамической реакции и условно статической составляющей изменяются по отношению к неподвижной системе координат. Это вызывает знакопеременное нагружение опорных узлов, приводящее к их усталостному разрушению. Если центр масс находится на оси вращения, но главная центральная ось инерции тела не совпадает с осью вращения, то условно статические реакции при консервативных заданных силах не будут изменяться по величине и по направлению (см. уравнения 1,2), но дополнительные динамические реакции образуют пару сил: Плоскость действия пары и направления дополнительных реакций вращаются вместе с рассматриваемым телом со всеми вытекающими отсюда последствиями. При конструировании машин и механизмов необходимо исключить возникновение дополнительных динамических реакций. Для этого вращающиеся элементы должны иметь нулевые центробежные моменты инерции, т.е. главная центральная ось должна совпадать с осью вращения. При изготовлении таких элементов возможны незначительные отклонения в размерах, которые приводят к неуравновешенности возникающих при вращении сил инерции и возникновению дополнительных динамических реакций на опорные устройства. Для предотвращения этого выполняется балансировка - введение дополнительных масс, силы инерции которых уменьшают неуравновешенность сил инерции тела, или, напротив, высверливание части материала, что изменяет распределение сил инерции. т.к. по определению условно статических реакций.