Дисперсионный анализ. Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Установить различаются ли три группы. - презентация

1 Дисперсионный анализ

2 Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Установить различаются ли три группы или более по какому-либо одному количественному признаку Например определить, зависит ли активность фермента от стадии заболевания

3 Классификация методов дисперсионного анализа По количеству анализируемых признаков Однофакторный (ANOVA) (Анализ различий групп по одному признаку) Многофакторный (МANOVA) (Анализ различий групп Одновременно по двум признакам и более)

4 Классификация методов дисперсионного анализа По принципам анализа Параметрический (Для анализа нормально распределенных признаков в группах) Непараметрический (для анализа количественного признака независимо от вида его распределения в группах)

5 Классификация методов дисперсионного анализа По анализируемым данным Данные, полученные в несвязанных (независимых) выборках (в частности данные однократных наблюдении) Данные, полученные в связанных (зависимых) выборках (в частности данные повторных наблюдений)

6 Параметрический дисперсионный анализ Параметрический дисперсионный анализ Сравнить три или более группы по количественному нормально распределенному признаку В процедуре параметрического анализа вариаций общая вариация данных рассматривается как сумма двух видов вариаций:

7 Параметрический дисперсионный анализ 1. Межгрупповая вариация – вариация между средним каждой группы и общим средним значением всей выборки 2. Внутригрупповая вариация – вариация между каждым объектом исследования группы и средним значением соответствующей группы

8 Параметрический дисперсионный анализ Этапы выполнения: Проверка гипотез о равенстве дисперсий Собственно анализ вариаций Апостериорное сравнение групп с помощью специализированных процедур, отличных от Т-критерия

9 Проверка гипотез о равенстве дисперсий ( тест Левена ) Происходит проверка нулевой гипотезы об отсутствии различий дисперсий в группах об отсутствии различий дисперсий в группах Если результат свидетельствует об отсутствии различия дисперсий ( р>0,05), то применение параметрического дисперсионного анализа обосновано Если различие дисперсий имеется ( р

10 Непараметрические методы исследования независимых групп (м-д Краскела-Уоллиса, медианный тест) Используется в случае необходимости сопоставить несколько групп по одному количественному или порядковому признаку независимо от вида его распределения в группах Используется в случае необходимости сопоставить несколько групп по одному количественному или порядковому признаку независимо от вида его распределения в группах

11 Мощность - вероятность отвергнуть Н 0 в эксперименте, когда Н 0 действительно неверна. Мощность

12 Мощность предполагаемого статистического теста - ключевой элемент планирования исследования «Реальное значение» параметра: Во всей мировой популяции землероек μ = 90 г. Пусть «реальное значение» средней массы в заповеднике = 94 г.

13 Мощность Нарисуем распределения выборочных средних для μ = 90 и μ = 94 (стандартное отклонение σ = 20). Размер выборки n = 25 зверей

14 Мощность Как увеличить мощность? МОЩНОСТИ Большей МОЩНОСТИ критерия способствуют: 1. 1.Большой размер выборки; 2. 2.Большие различия между популяциями (effect size); 3. 3.Маленькое стандартное отклонение; 4. 4.Большой уровень значимости (α=0.05 а не α=0.01); 5. 5.Выбор одностороннего теста вместо двустороннего

15 Базовая модель Математическая основа базовой модели: SS общ = SS A + SS B + SS ост Где SS – это сумма квадратов отклонений от среднего. Рассмотрим случай, когда комбинация определенных значений A и B встречается у равного количества человек r, число возможных значений B равно b и число возможных значений A равно a. (сбалансированная модель).

16

17 Базовая модель Тогда общее число человек в выборке n = a x b x r

18 Базовая модель В основе лежит все та же основная модель дисперсионного анализа, что и в случае однофакторной статистики, только теперь мы изучаем действие двух или более факторов: x = m + α + β + … + ε

19 Базовая модель Источник вариации SSdfMSF Общий SS общ abr-1 MS общ Фактор А SS A a-1 MS A MS A / MS ост Фактор B SS B b-1 MS B MS B / MS ост Главные эффекты SS мод = SS A + SS B a + b -2 MS мод MS мод / MS ост Случайные отклонения SS ост ab(r-1) MS ост

20 Модель с эффектом взаимодействия Эффект взаимодействия предусматривает то, что дисперсия общего влияния факторов не равна простой сумме их дисперсий: SS общ = SS A + SS B + SS AB + SS ост Вводится еще один компонент – взаимодействие A и B.

21 Модель с эффектом взаимодействия Источник вариации SSdfMSF Общий SS общ abr-1 MS общ Фактор А SS A a-1 MS A MS A / MS ост Фактор B SS B b-1 MS B MS B / MS ост Взаимодействие A и B SS AB (a -1)(b -1) MS AB MS AB / MS ост Случайные отклонения SS ост ab(r-1) MS ост

22 Модель со случайными эффектами Случайные факторы предусматривают другой подход к вычислению компонентов дисперсии. Если все факторы случайны, то в модели x = m + a + b + e при справедливости нулевой гипотезы a, b и e распределены нормально со средним = 0 и разными дисперсиями.

23 Модель со случайными эффектами Источник вариации SSdfMSF Общий SS общ abr-1 MS общ Между значениями фактора А SS A a-1 MS A MS A / MS B Между значениями фактора B при разных A SS B a(b-1) MS B MS B / MS ост Случайные отклонения SS ост ab(r-1) MS ост

24 Модель со случайными эффектами Поскольку подход к SS B иной, рассчитывается он тоже по-другому: Если в модели со случайными эффектами есть взаимодействия, их дисперсия считается так же, как и в модели постоянных эффектов.

25 Модель с несколькими эффектами Чем больше факторов в модели, тем сложнее ее расчет и построение. Так, например, если в модели три фактора, то оценка влияния одного фактора на модель в целом можно провести только после исключения его взаимодействия с другими факторами: MS ABC / MS ост – взаимодействие всех факторов MS AB / MS ABC - взаимодействие двух факторов MS AС / MS ABC - взаимодействие двух факторов

26 Немного терминологии Уровень (level) – это одно из возможных значений фактора. В англоязычной литературе фактор принято обозначать в виде его номера и количества уровней: 2x2, 3x4 и т.п. Ячейка/гнездо (cell) – это группа значений при заданной комбинации факторов (например, ячейка A=1, B=2, C=10)

27 Немного терминологии Полный перекрестный дизайн (Completely crossed design) – каждый уровень каждого фактора встречается в комбинации со всеми уровнями остальных факторов. Сбалансированный дизайн (balanced design) - в каждой ячейке равное количество значений. Ортогональный дизайн (orthogonal design) – сбалансированный, полный перекрестный дизайн при условии случайной выборки.

28 Простой пример Изучаются 2 фактора, влияющих на сдачу экзамена: Употребление кофе (да/нет)Употребление кофе (да/нет) Наличие конспекта (да/нет)Наличие конспекта (да/нет) Результат оценивается в количестве правильных ответов на вопросы единого междисциплинарного теста. Конспект (Фактор A) Кофеин (Фактор B) НетДа Да Только кофеин Оба Нет Контроль (ни одного) Только конспект

29 Простой пример Основные эффекты: N= по 30 в клетке Конспект (Фактор A) Средние по столбцам Кофеин (Фактор B) НетДа ДаКофеин Ср.балл = 80 СО = 5 Оба Ср.балл = 85 СО= НетКонтроль Ср.балл = 75 СО = 5 Конспект Ср.балл = 80 СО = Средние по строкам

30 Простой пример Основные эффекты и их взаимодействие Конспект (Фактор A) Средний балл НетДа Без кофеина С кофеином Фактор B

31 Простой пример Основные эффекты и их взаимодействие Эффекты факторов видны по наклону линий на графике (первый эффект) и точках пересечения линий с вертикальной осью (второй эффект) Взаимодействие факторов проявляется в виде нарушения параллельности линий на графике.

32 Простой пример Единственный основной эффект за счет B (только кофе) Фактор A Средняя реакция Единственный основной эффект B=1 B=2 A 1 2 B

33 Простой пример Единственный основной эффект за счет А (только конспект) Фактор A Средняя реакция Единственный основной эффект B=1 B=2 A 1 2 B

34 Простой пример Оба основных эффекта A и B (кофе и конспект) Фактор A Средняя реакция Оба основных эффекта B=1 B=2 A 1 2 B

35