Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств. - презентация

1 Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств 2. Иррациональные 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться 6. Неравенства

2 1. Алгебраические уравнения Линейные уравнения Неполные квадратные уравнения Полные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнения в виде пропорции Главное менюВернуться

3 Линейные уравнения. kx = b, если k 0. b 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член). kx = b, если k = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х R. Помните! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь. 3 х = 6 Ключевые слова. 1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2.Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Решить уравнения. Пример 1. 9(2х – 18) = - 9х 18х – 9 18 = - 9х, 18х + 9х = 9 18, 27х = 9 18 х = Главное меню Оглавление

4 Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения 1. ax 2 + bx = 0 с = 0 Вынесите х за скобку х(ах + b) = o Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. х =0 или ах + b = 0 2. ax 2 + с = 0 b = 0 ax 2 = -с; х 2 = ; х 1,2 =. плюс, минус При извлечении корня не забывать ставить плюс, минус Главное меню Оглавление

5 5х 2 - 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х =0 или 5х – 2 = 0 х= 0 ; х=0,4. Пример 1 х = 0; х 2 = 4; х = ± 2 ; Пример 2 ± Полные квадратные уравнения. ax 2 + bx + c = 0 х 2 + px + q = 0 Приведенное квадратное уравнение ax 2 + 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный С обратным знаком Главное меню Оглавление

6 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 - 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: = 3, т.к. b = - 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление

7 Решение специальных видов квадратных уравнений. ax 2 + bx + c = 0 Если a + b +c = 0, то х 1 = 1, х 2 =Если a - b +c = 0, то х 1 = - 1, х 2 = Пример. 2х х + 41 = 0; 2 – = 0 х 1 = 1, х 2 = 41/2, х 2 = 20,5 Пример. 24х х + 6 = 0; 24 – = 0 х 1 = - 1, х 2 = - 6/24, х 2 = - 0,25 Главное меню Оглавление

8 Пункт 1. Разложить знаменатели на множители; Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю. Записать область определения уравнения; Пункт 4. Привести уравнение к целому виду, для чего: а) поставить черточки к каждому члену уравнения; найти и записать дополнительные множители (доп. множ); Доп. множ = б) записать результат умножения допмнож. на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде; Пункт 5. Решить полученное уравнение; Пункт 6. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние. Дробные рациональные уравнения. Главное меню Оглавление Вернуться

9 Пример1. Пункт1. Пункт 3. х - 4 х Пункт4. х – 4 – х 2 + х +20 = 8 х 2 - 2х – 8 = 0; х = - 2; х = 4 посторонний корень. Ответ: -2. Алгоритм Главное меню Оглавление

10 Уравнения в виде пропорции. Основное свойство пропорции: ad = bc Пункт 1. Найти область определения; Пункт 2. Перемножить крест на крест; Пункт 3. Решить соответствующее уравнение. Пример 1. х = 2х х 2 – 1 = 0, х = ± 1 Пример 2. 3х = х х 2 - 3х + 2 = 0 х 1 = 1, х 2 = 2 Главное меню Оглавление

11 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b2. Уравнение вида 3. Уравнение вида 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Главное меню Вернуться

12 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b f(x) = b 2, при b 0; при b < 0 не имеет решения. Равносильно Золотые правила. Для решения корень нужно уединить. Обе части возвести в квадрат. Примеры. 2. Уравнение вида Оглавление Главное меню

13 Примеры. 3. Уравнение вида Выберите неравенство, которое проще. либо Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Оглавление Главное меню

14 Примеры. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Проверка: х = - 1 Равенство верно х = 5 Равенство неверно Главное меню Оглавление

15 Уравнения, сводящиеся к квадратным Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза ( ). Решаются путем замены корня, с учетом ограничений. Примеры. = t, где t 0 t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, учитывая, что t 0, t = 3 Ответ: х = ± 7 х - любое Главное меню Оглавление

16 3. Тригонометрические уравнения 1. Решение простейших тригонометрических уравнений 2. Решение простых тригонометрических уравнений Главное меню Вернуться

17 Уравнения sinх = 0, ± 1 Уравнения sinх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 0 sinх = 0 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота х = πn, n х = πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 1 sinх = 1 х = π/2 Придем в единицу через целый оборот sinх = -1 sinх = -1 х = π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π х = -π/2 х = - π/2 +2πn, n х = - π/2 +2πn, n Главное меню Оглавление

18 0 -π/2 π/2 3π/2 π Уравнения cosх = 0, ± 1 Уравнения cosх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = 1 cosх = 1 х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот х = 2πn, n х = 2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = -1 cosх = -1 х = π Придем в единицу через целый оборот cosх = 0 cosх = 0 х = π +2πn, n х = π +2πn, n х = π/2 х = π/2 +πn, n х = π/2 +πn, n Придем в 0 через пол оборота Главное меню Оглавление

19 sinх = а Для а > 0 Для а < 0 х = ( - 1) n arcsina + n, где n Z. х = ( - 1) к +1 arcsin a + к, где к Z. cosх = а Для а > 0 Для а < 0 x = arccosa +2 n, где n Z. х = ( arccos a ) + 2 n, где n Z. tgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arctgа + n, где n Z. х = arctg а + n, где n Z. сtgх = а сtgх = а Для а > 0 Для а < 0 х = arcсtgа + n, где n Z. х = arсctg а + n, где n Z. sinх = а cosх = а tgх = а ctgx = а Главное меню Оглавление

20 Минус единица в степени... Минус единица в степени... Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление

21 Минус единица в степени n +1… Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка, пи минус… Плюс, минус, скобка, пи минус… минус арктангенс пи минус арккотангенс пи минус арккотангенс Считая а < 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsin|a| + πn, где n Z (-1) n+1 x = (π - arcсos|a|) + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a x = аrctg|a| + πn, где n Z - x = π аrcctg|a| + πn, где n Z - Главное меню Оглавление

22 Алгоритм. Пункт 1. Привести угол в стандартный вид; Пункт 2. Выразить «чистый» sin, cos, tg, ctg; Пункт 3. Записать весь угол; Пункт 4. Записать формулу решения; Пункт 5. Найти неизвестное. Примечания. Пункт 1.х должен быть с плюсом, при наличии формулы приведения - применить; Пункт 3. Угол записывается таким какой он получился после пункта 1; Пункт 4. Формула решения записывается в соответствии с вопросом: «Чье уравнение?» Алгоритм решения простых уравнений Главное меню Оглавление

23 1. Решите уравнение: 3 + 4sin (π/4 – 2х) = Угол в стандартный вид Найти «чистый sin» Весь угол равен: Уравнение sin: начинается с (-1) n+1 Найти х sin (2х - π/4) = 5 sin (2х - π/4) = - ½ 2х - π/4 = 2х - π/4 = (-1) n + 1 π/6 + πn n Z 2х = (-1) n + 1 π/6 + π/4 + πn х = (-1) n + 1 π/12 + π/8 + πn/2 Главное меню Оглавление

24 Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наименьший положительный корень n = - 1 5/4 – 3/2

25 4. Показательные уравнения 1. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 5. Однородные уравнения Главное меню Вернуться

26 а f(x) = а g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) 1. Уравнения вида а f(x) = а g(x). Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней. Примеры. 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 2) х = 5х, х 2 – 5х + 6 = 0 х 1 = 2, х 2 = 3 2. Решение полученного уравнения 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 6/5) 2х – 1 = х + 2 х = 3 2. Решение полученного уравнения Главное меню Оглавление

27 Золотое правилоУравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. 0,125 = 1/8 = ,25 = ¼ = 2 -2 Золотое правилоКорни, знаменатели привести к степеням. Золотое правило. Корни, знаменатели привести к степеням. Золотое правилоПривести обе части к видуа f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями Золотое правило. Привести обе части к виду а f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями 2 4х – 9 = 2 х = 6. Главное меню Оглавление

28 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 а f(x) = b f(x) Решение: Разделить а f(x) на b f(x) а f(x) b f(x) = 1, (ab) f(x) = (ab) 0, f(x) = 0 Примеры. 1) 25 х – 1 = 3 2х – 2,т.к 25 = 5 2, то 5 2х – 2 = 3 2х – 2, Главное меню Оглавление

29 2) 12 х – 2 = 3 3х 2 6х з х – 2 2 2х – 4 = 3 3х 2 6х. Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 3 3х, а правую на 2 2х – 4, т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками. Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 4 2х х +2 = 1, 12 2х+2 = х + 2 = 0, х = - 1. Главное меню Оглавление

30 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m а f(x) + h a n а f(x) + … Далее - приведение подобных слагаемых Обратим внимание, что член, не содержащий а f(x) (9), преобразовывать не нужно. Примеры. 23 х + 1 – 63 х – 1 – 3 х = х – 61/33 х – 3 х = 9, 63 х – 23 х – 3 х = 9, Приведем подобные: легко подсчитать «штучки». Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки. 33 х = 9, 3 х = 3, х = 1. Главное меню Оглавление

31 2) 2 х – х – х – 3 = 448 Очистим показатель и приведем к целому виду х + 22 х + 2 х = 8448 Было бы лишним действием умножать 8448, т.к. потом все равно сокращать. 2 х = 64 2 х =8 64, 2 х = 2 9, х = Уравнения, сводящиеся к квадратным Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену: а f(x) = t, где t > 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление

32 Общий алгоритм поиска решения показательного уравнения основания показатели 1. Привести к одному основанию 2. «Очистить» показатель» 3. Привести к определенному виду 4. Решить согласно полученному виду

33 2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = - 4, t = 2. t = посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление

34 5. Однородные уравнения Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы: - функций две; - степень одинаковая; - свободный член равен нулю. Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени. 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

35 t 2 + t - 2 = 0, t = - 2, t = 1 t = - 2 посторонний корень х = 0 Ответ: х = 0 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

36 5. Логарифмические уравнения 1. Справочный материал Уравнение вида log а f(x) = b 2. Уравнение вида log а f(x) = b Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 3. Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 5. Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) 4. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) Главное меню Вернуться

37 а > 0 a 1 Главное меню Оглавление

38 а = b log a b Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. 1. log a M · N = log a | M | + log a | N | 1) log 2 2x = 1 + log 2 x 2) lgx( 2x-3 ) = lg|x| + lg |2x-3| 2. log a M/N = log a | M | - log a | N | 1) log 2 2/x = 1 - log 2 x 2) lgx/( 2x-3 ) = lg|x| - lg |2x-3| 3.log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8) 2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 ) 2 = 2 lg |2x-3| Главное меню Оглавление

39 При применении записать: равно, дробная черта; в числителе log c, в знаменателе – log c ; в числитель – b; в знаменатель -а = = = - 3 Главное меню Оглавление

40 5. Логарифмические уравнения 1. Уравнение вида log а f(x) = b Примеры: х -3, х – 2 = 3х + 9, х = 11/2, х = 5,5 Главное меню Оглавление

41 2. Уравнение вида log а f(x) = log а g(x) Можно выбрать одну систему, где неравенство легче Можно решать без равносильности, но надо сделать проверку и исключить посторонние корни. или Главное меню Оглавление

42 Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление

43 3. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) или log а f(x) = b Алгоритм решения 1. Найти ОДЗ уравнения; 2. Применить свойства логарифмов; 3. Решить согласно полученному виду; 4. Отобрать корни. Главное меню Оглавление

44 1) log 2 (x +1) + log 2 (x +2) = 1 1. ОДЗ 2. Сумма логарифмов log 2 (x +1)(x +2) = 1 3. Решение log 2 (x +1)(x +2) = 1 (x +1)(x +2) = 2, х 2 + 3х + 2 = 2, х = 0, х = посторонний корень Ответ: 0 Главное меню Оглавление

45 2) log 2 (x +1) - 2log 2 x = 1 Целесообразно избегать разности логарифмов, т. к. это приводит к дробям, что усложняет решение Любое число можно представить в виде логарифма по нужному основанию: c = log a a c 1 = log 2 2 Главное меню Оглавление

46 ОДЗ /3 7/3 1/ /3 x 7/3 Главное меню Оглавление

47 / /3 x 7/3 34/3 x = 3 Главное меню Оглавление

48 Уравнения, в которых степени логарифмов разнятся в два раза, решаются как квадратные с заменой логарифма. Например: log 2 и log, log 4 и log 2 и т.д. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Следует отличать логарифм в квадрате и логарифм от квадрата: log 2 а f(x) = log а f(x) · log а f(x), a log a f 2 (x) = 2 log a |f (x)| Помните, что Логарифм в квадратеЛогарифм от квадрата 1) (lgx) 2 – 3lgx +2 = 0 lg 2 x– 3lgx +2 = 0, lgx = t, t R t 2 - 3t + 2 = 0, t= 1, t = 2 lgx = 1, lgx = 2 x = 10, x = 100 Главное меню Оглавление

49 Решение неравенств 1. Линейные неравенства Квадратные неравенства 2. Квадратные неравенства Показательные неравенства 3. Показательные неравенства Логарифмические неравенства 4. Логарифмические неравенства Главное меню Вернуться

50 Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными Выбери линейные неравенства: 1. 2х – 8 > x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление

51 Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными Выбери линейные неравенства: 1. 2х – 8 > x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление

52 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k Если коэффициент при х положительный, то знак неравенства не изменять Если коэффициент при х отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный Главное меню Оглавление

53 Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт x > 8; Пункт 3. х < - 4; Т.к. – 2

54 D>0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c < 0 Главное меню Оглавление

55 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней); Пункт 2. Записать функцию f(x) >0 или f(x) < 0 ; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Нанести на координатную прямую нули функции и расставить знаки: если коэффициент при х2 положительный, то знаки идут « +,, +»; если отрицательный, то знаки будут «, +, » ; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Главное меню Оглавление

56 Пример 1. х 2 - 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 - 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление

57 Пример 2. - х 2 - 3х + 4 0; f(x)= -x 2 - 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1

58 1. Перенести все в одну сторону 2. Направление ветвей 3. Нули, координатная прямая, знаки: «+ - +» или «- + -» Главное меню Оглавление

59 Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление

60 Пример 3. х 2 < 4; х 2 – 4 < 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 < x < - 2 Ответ: х ( -2;2) Главное меню Оглавление

61 Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление

62 Пример 5. -х > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= - х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 < 0 – ветви параболы направлены вниз; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. решений нет Ответ: решений нет - Главное меню Оглавление

63 Пример 6. х x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 - 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление

64 а > 0 а < 0 У = а t – функция возрастающая. Большему значению t соответствует __________ ____ _ значение функции. большее У = а t – функция возрастающая. Большему значению t соответствует __________ ____ _ значение функции. меньшее Решите неравенства: 1) 2 3х – 1 < 2 x + 4 < 3х – 1 ______ x + 4 х ______ > 2,5 > 2,5 < 2,5 < 2,5 2) (1/2) 3х – 1 < (1/2) x + 4 > 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x - 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) < g(x) f(x) > g(x) a f(x) < a g(x ) ___________ a f(x) > a g(x ) ___________ a f(x) < a g(x ) ___________ f(x) > g(x) f(x) < g(x) 2. Решить согласно полученному основанию 1. Привести все к одному основанию 3 x - 1 > 3 2x x - 1 > 2x, x < -1 Главное меню Оглавление

65 Неравенства, сводящееся к квадратному: Решите неравенство < t < 5 25 x – 3 5 х = 10 < x – 35 х - 10 < 0 5 х = t t > 0 t 2 – 3t - 10 < 0 t 1 = t 2 = < t < 5 0

66 1. Определите ограничения; 2. Решите неравенство с новой переменной до конца (без ограничения); 3. Нанесите ограничения; 4. Сделайте обратную замену. Найдите неизвестное. Главное меню Оглавление

67 Логарифмическое неравенство привести к виду логарифм в левой части, логарифм – в правой части log a f(x) log a g(x) Так как функция у = log а t – функция возрастающая, то Знак неравенства не меняется log a f(x) log a g(x) Знак неравенства меняется Так как функция у = log а t – функция убывающая, то ОДЗ Главное меню Оглавление

68 Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) < 1, log 1/2 (x 2 – 16) > -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление