Работа ученицы 9Б класса Медведевой Ларисы. Руководитель: Малышева Р. Н. - презентация

1 Работа ученицы 9Б класса Медведевой Ларисы. Руководитель: Малышева Р. Н.

2 Треугольники Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

3 Виды треугольников Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным. А В С

4 Медиана Медиана треугольника это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника. Свойства медиан треугольника 1.Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. 2.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. 3.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

5 Биссектриса Биссектриса угла это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

6 Свойства биссектрис треугольника Биссектриса угла это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам:. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.центром окружности, вписанной в этот треугольник.

7 Высота Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника. Свойства высот треугольника В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.прямоугольном треугольнике подобные В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.остроугольном треугольникеподобные

8 Срединный перпендикуляр Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку. Свойства серединных перпендикуляров треугольника Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

9 Средняя линия Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойство средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. М Е А В С

10 Признаки равенства треугольников Два треугольника равны, если у них соответственно равны: две стороны и угол между ними; два угла и прилежащая к ним сторона; три стороны.

11 Признаки равенства прямоугольных треугольников Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:прямоугольных треугольника гипотенуза и острый угол;гипотенуза катет и противолежащий угол;катет катет и прилежащий угол;катет два катета;катета гипотенуза и катет.гипотенузакатет

12 Подобие треугольников Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия: два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны; три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.высотымедианыбиссектрисы

13 Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:диаметруописанной около треугольника окружности

14 Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2= b2+ c2- 2bc cos (bc)

15 Произвольный треугольник a, b, c стороны; угол между сторонами a и b; полупериметр; R радиус описанной окружности; r радиус вписанной окружности; S площадь; ha высота, проведенная к стороне a. S = aha S = ab sin α S = pr

16 Прямоугольный треугольник a, b катеты; c гипотенуза; hc высота, проведенная к стороне c. S = ab S = chc

17 1.Равносторонний треугольник

18 Теорема 4.3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC. По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC ; BC = AC ; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

19 Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Рисунок Доказательство Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана. Признаки равнобедренного треугольника.

20 Теорема 4.5. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA ; B = A ; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.