Плясуновой Дарьи МОУ СОШ 1 10А класс Свердловская область Нижнесергинский район г. Михайловск. - презентация

1 Плясуновой Дарьи МОУ СОШ 1 10А класс Свердловская область Нижнесергинский район г. Михайловск

2 Числа Фибоначчи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , (последовательность A в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи)

3 Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) (родился около 1170 умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы «Liber Abaci» (1202) трактат об арифметике (индийские цифры, Фибоначчи числа ) и алгебре (до квадратных уравнений включительно), «Practica Geometriae» (1220), которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии.

4 Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением: Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F n = F n + 2 F n + 1 :

5 Легко видеть, что. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

6 Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе. Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n -1, либо L к образцу длиной n -2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования». На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара). В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара). Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары). В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары). Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает. Пусть популяция за месяц n будет равна F ( n ). В это время только те кролики, которые жили в месяце n -2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F ( n -2) пар прибавится к текущей популяции F ( n - 1). Таким образом общее количество пар будет равно F ( n ) = F ( n -1) + F ( n -2).

7 Формула Бине выражает в явном виде значение F n как функцию от n : где золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения. Из формулы Бине следует, что для всех, F n есть ближайшее к целое число, то есть. В частности, справедлива асимптотика Формула Бине может быть аналитически расширена следующим образом Причем соотношение F z + 2 = F z F z выполняется для любого комплексного z.

8 И более общие формулы:

9 Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: то есть а также где матрицы имеют размер i мнимая единица. Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва: Для любого n, Следствие. Подсчёт определителей даёт

10 Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. ( F m, F n ) = F ( m, n ). Следствия: F m делится на F n тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, F m делится на F 3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3 k ; F m делится на F 4 = 3 только для m = 4 k ; F m делится на F 5 = 5 только для m = 5 k и т. д. F m может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F 13 = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми. Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x 2 - x - 1 имеет корни и Отношения являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности,

11 Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы В 1964 Дж. Кон ( J. H. E. Cohn ) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F 0 = 0 2 = 0, F 1 = 1 2 = 1, F 2 = 1 2 = 1, F 12 = 12 2 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение F n = n 2. Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является: Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена z ( x, y ) = 2 xy 4 + x 2 y 3 2 x 3 y 2 y 5 x 4 y + 2 y, на множестве неотрицательных целых чисел x и y Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

12 Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры с периодом 1500, последние четыре с периодом 15000, последние пять с периодом и т. д. Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5 N или 5 N 2 4 является квадратом.

13 В ПРИРОДЕ Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. В КУЛЬТУРЕ Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку В ИНТЕРНОМ И ЛАНДШАФТНОМ ДИЗАЙНЕ Ряд Фибоначчи используется для вычисления гармоничных пропорций, например, соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами или соотношение высот нескольких деревьев в группе В ЛИТЕРАТУРЕ Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как лжешифр.

14 %CF%E8%E7%E0%ED%F1%EA%EE%E3%EE&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=1# cf=1 %CF%E8%E7%E0%ED%F1%EA%EE%E3%EE&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=1# cf=1 &sf=0&cf=12#cf=14 &sf=0&cf=12#cf=14 %20%E4%E0%20%C2%E8%ED%F7%E8&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=10#cf=11 %20%E4%E0%20%C2%E8%ED%F7%E8&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=10#cf=11