Параболоиды Выполнили Ищенко Леонид и Орлов Евгений Ученики 9«Б» класса МКОУ «Давыдовская СОШ» НОУ 2012г. - презентация

1 Параболоиды Выполнили Ищенко Леонид и Орлов Евгений Ученики 9«Б» класса МКОУ «Давыдовская СОШ» НОУ 2012г.

2 Определение эллиптического параболоида Эллиптическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением Ось аппликат Oz канонической системы координат является единственной осью симметрии эллиптического параболоида, плоскости xOz и yOz плоскостями симметрии. Ось аппликат, называемая осью эллиптического параболоида, пересекает его в начале координат, эта точка называется вершиной параболоида.

3 Определение эллиптического параболоида Эллиптическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением Ось аппликат Oz канонической системы координат является единственной осью симметрии эллиптического параболоида, плоскости xOz и yOz плоскостями симметрии. Ось аппликат, называемая осью эллиптического параболоида, пересекает его в начале координат, эта точка называется вершиной параболоида.

4 Если рассмотреть сечение эллиптического параболоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h 1, y = h 2 ), то в сечении получаются параболы. Например, сечение эллиптического параболоида плоскостью y = h 2 задается системой уравнений откуда при подстановке второго уравнения в первое последовательно получаем: и уравнение параболы. Получаемые таким образом параболы лежат в параллельных плоскостях, отличаясь лишь положением в пространстве. Рассматривая аналогично сечения эллиптического параболоида плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при h > 0), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при h = 0), либо мнимый эллипс (при h < 0).

5 Эллиптический параболоид

6

7 Сечение эллиптического параболоида

8 Определение гиперболического параболоида Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением Ось аппликат Oz канонической системы координат является единственной осью симметрии гиперболического параболоида, плоскости xOz и yOz плоскостями симметрии. Ось аппликат, называемая осью гиперболического параболоида, пересекает его в начале координат; эта точка называется вершиной параболоида.

9 Рассматривая аналогично сечения гиперболического параболоида плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка гиперболического типа. Это либо гипербола (при |h| > 0), либо пара пересекающихся прямых (при h = 0). Таким образом, по форме гиперболический параболоид напоминает седло, эту поверхность часто называют седловой. Если рассмотреть сечение гиперболического параболоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h 1, y = h 2 ), то в сечении получаются параболы. Например, сечение гиперболического параболоида плоскостью x = h 1 задается системой уравнений откуда при подстановке второго уравнения в первое последовательно получаем: и уравнение параболы.

10 Гиперболический параболоид

11 Гиперболический параболоид

12 Сечение гиперболического параболоида