Проблема гарантированной точности вычислений Докладчик: Куликов И.М. kulikov@ssd.sscc.ru Летняя школа по параллельному программированию. - презентация

1 Проблема гарантированной точности вычислений Докладчик: Куликов И.М. Летняя школа по параллельному программированию

2 Почему проблема? 1.Описание деталей самого моделируемого объекта 2.Детальное поведение моделируемого объекта во времени 3.Каждую деталь в каждый момент времени надо считать!

3 Количество операций операций в секунду секунд в часе 100часов 100процессоров _______________________________________ операций

4 Главный вопрос о точности О начальных данных математическая модель ещё «помнит» или уже нет? Формально: число верных знаков

5 Источники потери точности 1. Неустранимые погрешности решения, обусловленные неточностью исходных данных 2. Погрешность метода решения задачи 3. Вычислительная погрешность, являющейся результатом округлений в процессе счета

6 Представление целых чисел без знака

7 Представление целых чисел со знаком

8 Представление вещественных чисел

9

10 Диапазоны значений Вещественные числа (Фортран) real*4: порядок -38…38 значащие знаки 7 real*8: порядок -308…308 значащие знаки 14 real*16: порядок -4932…4932 значащие знаки 34 Целые числа (Фортран) integer(4):

11 Использование различных точностей Вещественные числа (Фортран) real*4: real*8: real*16:

12 Различные способы сложений

13 Постулаты При возможности использовать вещественные типы данных с большим количеством значащих знаков Избегать вычитания близких значений Избегать сложения чисел с большим перепадом порядков

14 Вычислительная линейная алгебра При линейном преобразовании плоскости единичная окружность переходит в эллипс. Длина наибольшего радиус-вектора этого эллипса называется нормой линейного преобразования, описываемого матрицей А

15 Для того, чтобы надежно определялось решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей нужно, чтобы число было не очень большим. число обусловленности Справедливо неравенство Число обусловленности возмущенной матрицы близко кесли Решая систему с хорошо обусловленной матрицей можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо будет использованы возмущенныес малыми

16 В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить Постулат: Только такие числовые функцииот матрицы можно вычислять, для которых справедливо неравенство в котором- известная функция При этом условии, знаяи точность можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной Пример вычислимой функции - число обусловленности матрицы где если

17 Вычисление собственных значений

18 Вычисление собственных значений с помощью MATLAB ВСЕ собственные значения, вычисленные пакетом MATLAB являются точными точками - спектра матрицы C, при, при этом

19 Что делать? При возможности использовать вещественные типы данных с большим количеством значащих знаков Избегать вычитания близких значений Избегать сложения чисел с большим перепадом порядков Количество самих арифметических операций нужно уменьшать Использовать лучшую обусловленность матрицы Повышать точность исходных данных Отказаться от вещественной арифметики?

20 Литература Годунов С. К., Кирилюк О.П., Костин В.И. Спектральные портреты матриц. Новосибирск, (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т мат-ки; 3). Godunov S.K. Spectral portaits of matrices and criteria of spectral dichotomy. J. Herrberger and L. Atanasovaeds. Proc. Cont. Oldenburg, Germany (1991) North-Holland and JMACS p. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука, Малышев А.Н. Гарантированная точность в спектральных задачах линейной алгебры // Тр. Ин-та математики / АН СССР. Сиб. отд- ние Т. 17. С Godunov S.K., Sdkane M. Some new algorithms for the spectral dichotomy methods. Linear Algebra. Appl., 2003.