И СПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СМЕШАННЫХ И ЗАПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ Сергей Филиппов ¹ ² Владимир Иванович Манько ¹ ³. - презентация

1 И СПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СМЕШАННЫХ И ЗАПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ Сергей Филиппов ¹ ² Владимир Иванович Манько ¹ ³ ¹ Московский физико-технический институт ² Физико-технологический институт РАН ³ Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН По материалам статьи S.N. Filippov and V.I. Manko, Geometrical interpretation of the density matrix: mixed and entangled states, J. Russ. Laser Res., 29 (6), 520 (2008) 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

2 О СНОВОПОЛОЖНИКИ 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г. МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ J. von Neumann Л. Д. Ландау

3 Ч ЕМ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ ЛУЧШЕ Волновая Функция Матрица Плотности ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ? 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г. или

4 М АТРИЦА ПЛОТНОСТИ 2×2 Эрмитовость Единичный след Неотрицательна Общий вид для случая 2×2 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г. где

5 Г ЕОМЕТРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 2×2 Характеристическое уравнение имеет неотрицательные решения, если Если, то, что означает, что состояние является чистым Если, то состояние смешанное. Центр сферы, соответствует максимально смешанному состоянию 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

6 Состояния кубита 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

7 С ЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ ПЛОТНОСТИ ЧИСТЫХ СОСТОЯНИЙ Для чистых состояний и состояние также будет чистым Для соответствующих матриц и состояние не является чистым Волновые функцииМатрицы плотности где,,,. 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

8 Н ЕЛИНЕЙНОЕ ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ ПЛОТНОСТИ ЧИСТЫХ СОСТОЯНИЙ 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

9 В ЕЛИЧИНА СМЕШАННОСТИ СОСТОЯНИЯ И РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ Смешанность Расстояние между состояниями 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

10 П ОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Все матрицы плотности с собственными значениями и принадлежат 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

11 М АТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 4×4 Любая матрица плотности представляется в виде Условие на след: Характеристическое уравнение 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

12 С другой стороны 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г. Смешанность Расстояние между состояниями

13 Ф ИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ Для чистых состояний где - fidelity Предположение: Квадрат расстояния между состояниями даёт вероятность различить эти состояния. Возникает «обобщённая вероятность перехода» 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

14 Т ОМОГРАММЫ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Спиновая томограмма – функция распределения вероятностей найти проекцию спина на заданную ось равной Можно записать в виде столбца где матрица (можно также ) 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

15 П РИМЕРЫ ТОМОГРАММ КУТРИТОВ Чистые состояния 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

16 П РИМЕРЫ ТОМОГРАММ КУТРИТОВ Смешанные состояния 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

17 «Т ОМОГРАФИЧЕСКОЕ » РАССТОЯНИЕ Построение разностного вектора где Томографическое расстояние – максимум величины по всем матрицам 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

18 «Т ОМОГРАФИЧЕСКОЕ » РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ КУБИТАМИ Томографические векторы кубитов: Здесь матрица u задается углами Эйлера φ, ψ, θ, а состояния – матрицами. Максимум модуля разностного вектора достигает значения, которое в точности совпадает с введенным ранее расстоянием между состояниями 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

19 С ЕПАРАБЕЛЬНЫЕ И ЗАПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Общий вид сепарабельного состояния где,. Просто сепарабельное состояние 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

20 К РИТЕРИЙ ПРОСТО СЕПАРАБЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ Просто сепарабельное состояние записывается в виде Сравнение с общим видом даёт 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

21 О ПЕРАТОРЫ « ПРОВЕРКИ СЕПАРАБЕЛЬНОСТИ » Линейные операторы вида переводят сепарабельные состояния в сепарабельные Пример: для чисто сепарабельных состояний и в общем случае. Действие на состояние Вернера 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

22 К РИТЕРИЙ П ЕРЕСА -Г ОРОДЕЦКИХ Оператор частичного транспонирования эквивалентен обращению времени во второй подсистеме. Сепарабельное состояние переходит в сепарабельное: Если полученная матрица не есть матрица плотности, то исходное состояние было запутанным. 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

23 Г ЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕНТАЦИЯ Применение описанных выше операторов к матрицам плотности 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

24 Г РАНИЦА СЕПАРАБЕЛЬНЫХ И ЗАПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ Сепарабельные состояния определяются условиями Окончательно, Запутанность определяется как 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

25 И ССЛЕДУЕМ СОСТОЯНИЕ В ЕРНЕРА Состояние задаётся матрицей Для каждого значения параметра находим «запутанность» - расстояние до ближайшего сепарабельного состояния Поиск осуществляется численным методом, в результате получаем зависимость, изображённую на рисунке 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

26 З АПУТАННОСТЬ СОСТОЯНИЯ В ЕРНЕРА 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

27 Б ЛИЖАЙШЕЕ РАСПУТАННОЕ СОСТОЯНИЕ Получаем аналитическое выражение для запутанности 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

28 С РАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ МЕРАМИ ЗАПУТАННОСТИ Сплошная линия - геометрическая мера запутанности, нормированная на единицу Пунктирная линия – запутанность формирования Линия из точек – относительная энтропия 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

29 С ОСТОЯНИЕ « КОТА » Определяется формулой 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

30 М АТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ N X N Внутри эллипсоида Смешанность Расстояние Запутанность 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

31 В ЫВОДЫ 1. Предложенная интерпретация матрицы плотности как точек в Евклидовом пространстве позволяет прояснить её особенности: чистые и смешанные состояния, нелинейное правило сложения чистых состояний, расстояние между состояниями, физический смысл расстояния между состояниями, fidelity и его обобщение. 2. Исследование геометрических свойств томограмм квантовых состояний позволяет установить связь между «геометрическим» и «томографическим» расстоянием между состояниями. 3. Геометрическая трактовка сепарабельных и запутанных состояний позволяет провести между ними границу в виде алгебраических неравенств, а также получить легко вычислимую меру запутанности, примеры использования которой говорят сами за себя. 51 научная конференция МФТИ, Секция квантовой оптики, 28 ноября 2008 г.

32

33

34 Спасибо за внимание! Density Matrix