ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1. Д.Э. Постнов «Введение в динамику итерируемых отображений». Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 2. В.С. Анищенко «Знакомство. - презентация

1 ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1. Д.Э. Постнов «Введение в динамику итерируемых отображений». Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, В.С. Анищенко «Знакомство с нелинейной динамикой». Москва: Изд-во УРСС, 2008.

2 1. Динамическая система и ее математическая модель Динамическая система (ДС) - это любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию однозначно прогнозировать будущее состояние ДС и его называют законом эволюции, который является детерминированным оператором. Таким образом, главное свойство ДС состоит в том, что зная ее состояние в некоторый момент времени, можно найти состояние в любой последующий момент времени. Для этого достаточно применить к начальному состоянию закон эволюции. В смысле его задания ДС могут описываться с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС.

3 Математическая модель ДС считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследуя одну и ту же динамическую систему (например, движение маятника), в зависимости от учета различных факторов мы получим различные математические модели. В дальнейшем под динамической системой будем понимать ее математическую модель.

4 2. Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений Рассмотрим ДС, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Для определения ДС указывается объект, допускающий описание состояния заданием величин x 1, x 2, …, x N в некоторый момент времени t = t 0. Величины x i могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x i и x i отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Величины x 1, x 2, …, x N - фазовые переменные системы, - вектор управляющих параметров, F 1, F 2, …, F N – некоторые функции. (1)

5 Если рассматривать величины x 1, x 2, …, x N как координаты точки x в N-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния ДС в виде этой точки. Данная точка называется изображающей или фазовой точкой, а пространство состояний – фазовым пространством системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией. Правые части уравнений F 1, F 2, …, F N определяют скорость движения изображающей точки в N-мерном фазовом пространстве. x1x1 x2x2 x3x3 x0x0 - фазовая траектория

6 3. Классификация динамических систем Система (1) может быть записана в векторной форме: (2) В этом случае постулируется, что каждому x(t 0 ) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t) (t > t 0 ), куда за время t – t 0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (2). В операторной форме (2) можно записать в виде (3) где T t – закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t 0 ), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t > t 0. Оператор T t можно назвать оператором отображения или просто отображением. Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства.

7 1.Если оператор предусматривает только линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. 2.Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора Т может быть определено для любых t > t 0 (непрерывно во времени), называют системами с непрерывным временем или потоками (по аналогии со стационарным течением жидкости). Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют системами с дискретным временем, или итерируемыми отображениями (в дальнейшем для краткости – просто отображения).

8 xnxn x0x0 n 012 x1x1 x2x2 x3x3 3 В общем виде систему с дискретным временем можно записать следующим образом: (4) x – вектор координат состояния; n – дискретное время; F(x) – вектор-функция с компонентами f i, i=1,2,…, N, задающая закон преобразования из предыдущей величины x n в последующую x n+1 ; - вектор управляющих параметров системы. Для одномерного случая уравнение (4) примет вид: x 0 – начальное состояние системы при n = 0. Последовательность точек x n (x 0, x 1, x 2, …, x n ) представляет дискретную фазовую траекторию отображения. Под размерностью дискретной системы N (4) понимают количество независимых переменных состояния (размерность вектора состояния x). Как и для систем с непрерывным временем, оно соответствует числу уравнений.

9 Причины существования дискретных динамических систем. 1.Многие процессы в природе имеют дискретный характер. Например, длительность светового дня можно измерить не чаще чем 365 раз в году. Изменение состояния микропроцессора в компьютере подчинено сигналам тактового генератора, а в промежутках между ними его состояние неизменно. Системы с дискретным временем могут рассматриваться как самостоятельные при описании, например, экологических, экономических и социальных процессов. 2. Если наложить дополнительное условие на модель с непрерывным временем (введение так называемого сечения Пуанкаре), то данная модель переходит уже в класс систем с дискретным временем.

10 Г Фазовая траектория Г, характеризующая режим движения некоторой дифференциальной системы, последовательно и трансверсально пересекает поверхность S (размерности N – 1), которая называется секущей Пуанкаре. Траектория Г порождает на секущей некоторое точечное отображение, однозначно (но не взаимно однозначно) ставящее в соответствие любой точке x n пересечения Г с S ближайшую следующую за x n точку x n+1. Полученное дискретное множество x n на секущей называется сечением Пуанкаре для траектории Г. Закон соответствия между предыдущей и последующей точками пересечения называется отображением последования или отображением Пуанкаре. В общем случае отображение Пуанкаре задается нелинейным дискретным уравнением, размерность которого равна размерности секущей Пуанкаре.

11 От любой динамической системы с непрерывным временем можно перейти к соответствующему отображению, которое однозначно задается выбранным дополнительным условием. Однако обратное неверно. Одному и тому же отображению может соответствовать бесконечное количество динамических систем с непрерывным временем, так как существует бесконечное число способов заполнить промежуток между отсчетами времени.

12 4. Итерирование линейного отображения. Если не сопоставлять количественно динамику отображения с поведением динамической системы с непрерывным временем, то величина интервалов времени между отсчетами не имеет значения. Достаточно просто перенумеровать значения, которые принимает переменная. Одномерное отображение можно записать в виде рекуррентного соотношения: (5) Здесь f(x n ) – это функция последования, задающая закон преобразования из предыдущей величины x n в последующую x n+1. Простейший случай, когда f( ) является константой, f(x) = a приводит к линейному отображению. Чтобы найти величину x m, отстоящую на m шагов во времени от x 0, достаточно m раз применить f( ), сначала к x 0, а затем каждый раз – к получившейся величине. Применение функции последования на каждом шаге по времени называют итерацией, или итерированием отображения.

13 Проделаем процедуру итерирования на примере линейного отображения x n+1 = ax n : m-кратное применение функции f( ) обычно обозначают как

14 При a > 1 значение x n неограниченно увеличивается по закону геометрической прогрессии. Точное равенство a = 1 оставляет x n неизменным при любых n. При 0 < a < 1, величина x n монотонно убывает, асимптотически стремясь к нулю. При a < 0 процесс итерации приобретает характерную особенность: x n меняет знак на каждом шаге итерации. По этой причине как схождение процесса итераций к нулю, так и его разбегание в бесконечность приобретают осциллирующий характер. Рассмотрим примеры фазовых траекторий линейного отображения x n+1 = ax n для различных значений параметра a

15 Графический способ итерирования одномерного отображения. Диаграмма Ламерея Пусть x 0 – начальная точка. Отложим это значение по оси абсцисс. Тогда по оси ординат функция последования x n+1 = ax n даст следующее значение x 1. Графически его можно было бы измерить, например, линейкой и перенести на ось абсцисс как новое начальное значение для следующей итерации. Однако с помощью биссектрисы В, отвечающей условию x n+1 = x n, это можно сделать гораздо проще. Проведя вертикальную линию от значения x 0, получим точку на графике P 0 (x 0, x 1 ). Отложим от нее горизонтальную линию до пересечения с биссектрисой. Абсцисса точки пересечения есть x 1. Вновь проводя вертикальную линию до пересечения с графиком функции последования, получим точку P 1 (x 1, x 2 ). Повторяя процедуру нужное число раз, можно без каких-либо вычислений отслеживать изменение переменной x во времени (с шагом 1). По отношению к точке x n, точку x n+1 называют ее образом, а точку x n-1 – прообразом.