Государственное учреждение образования: «Гимназия г. Светлогорска» Построения сечений многогранников Ученика 11 "Б" класса ГУО "Гимназия г. Светлогорска" - презентация

1 Государственное учреждение образования: «Гимназия г. Светлогорска» Построения сечений многогранников Ученика 11 "Б" класса ГУО "Гимназия г. Светлогорска" Белого Сергея Владимировича Руководитель – учитель математики ГУО "Гимназия г. Светлогорска" Зинченко Жанна Арсеньевна г. Светлогорск 2008г

2 Введение: Во многих задачах, связанных с построениями на изображениях пространственных фигур, приходится выполнять построение сечений этих фигур плоскостями. Одним из эффективных методов решения задач на построение сечений многогранников и некоторых других позиционных задач является так называемый аксиоматический метод, разновидностями которого являются м мм метод следов и м мм метод вспомогательных сечений.

3 Метод следов

4 Метод следов Если плоскость α пересекает плоскость β по прямой s, то прямую s называют с сс следом плоскости α на плоскость β. Ясно, что прямая s является также следом плоскости β на плоскости α. В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника, а также плоскость любого другого сечения многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют с сс следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а отрезок следа, лежащий непосредственно в грани многогранника, называют следом секущей плоскости этой грани.

5 Задача 1 В A D С M P R В гранях МАВ, МАD и МВС пирамиды МАВСD заданы соответственно точки P,Q и R. Постройте сечение пирамиды плоскостью PQR. P1P1P1P1 R1R1R1R1 РЕШЕНИЕ: 1 Строим проекции точек P, R, Q на плоскость ABC P 1, R 1, Q 1 2 Соединяем точки P1Q1, PQ, R1Q1, RQ; соединяем точки их пересечений и продляем их до пересечения с прямой АВ Х1Х1Х1Х1 3 Соединяем точки Х2R, Х2R МА=К, Х2R МВ=L, соединяем т т. L и т. Р, LP МC=T, KQ AD=W, WOIIXX1, TO; получаем искомое сечение KLTOW Х Х2Х2Х2Х2 K T O L W Q1Q1Q1Q1 Q

6 Метод вспомогательных сечений

7 Метод вспомогательных сечений Этот метод является универсальным и имеет определённые преимущества по сравнению с методом следов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости оказывается за пределами чертежа

8 Задача 2 На ребре D 1 E 1 и в грани AВВ 1 А 1 призмы АBCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 заданы соответственно точки P и Q и вне призмы задана точка R. Построить сечение призмы плоскостью PRQ. А D C B B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E E1E1E1E1 P Q РЕШЕНИЕ: Строим точки P1, R1 и Q1 – проекции точек P, R, Q на плоскость АВС P1P1P1P1 Q1Q1Q1Q1 R1R1R1R1 Строим вспомогательные плоскости PP1Q и BRR1 KK1 - пересечение плоскостей; PQ KK1=K2; K1K1K1K1 В2В2В2В2 А2А2А2А2 V R F E2E2E2E2 A1A1A1A1 K2K2K2K2 Q2Q2Q2Q2 K RK2 (AA1E)=F; RK2 BB1=B2; В2Q AA1=A2; A2B2 A1B1=X1; X1P B1C1=V; A2F EE1=E2; получаем искомое сечение A2B2VPE2

9

10 Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости

11 Задача 3 На ребре AD призмы ABCDA1B1C1D1 задана точка P, на прямой СС1 – точка Q, такая, что точка С1 лежит между точками С и Q, а на прямой ВВ1 задана точка R. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости PRQ и проходящей через точку В1 Q R P РЕШЕНИЕ: 1. Соединяем точки Q и R, QR BC=X1, X1P, X1P DC=X2, X2Q, строим сечение призмы плоскостью PRQ 2. И И И Из точки В1 проводим прямые, параллельные прямым плоскости PRQ, получаем искомое сечение B1KLMN L M N K

12 Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой

13 Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую k параллельно заданной прямой m. В общем случае можно рекомендовать следующий план решения этой задачи: 1)Ч ерез прямую m и какую-нибудь точку прямой k проведем плоскость 2)В этой плоскости через уже выбранную на прямой k точку проведём прямую m1m. 3) П ересекающимися прямыми k и m1 определяется плоскость искомого сечения. Построим его. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяют найти более короткое решение

14 S2S2S2S2Q Задача 4 На ребре АА1 треугольной призмы ABCA1B1C1 задана точка Р, а в грани АВС – точка Q. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую B1Q параллельно прямой ВР. А B C C1C1C1C1 B1B1B1B1 А1А1А1А1 Р Р РР РЕШЕНИЕ: Через прямую ВР и точку Q проведем плоскость. Основным следом этой плоскости является прямая BQ. BQ пересекает АС в точке К. К L L1L1L1L1 В плоскости ВРК через точку Q проведём прямую QL//BP. Прямыми B1Q и QL определяется плоскость искомого сечения. Для построения этого сечения строим точку S1, в которой пересекаются прямые B1L и BL1, где точка L1 – это проекция точки L на плоскость АВС, LL1//AA1, S1Q – основной след секущей плоскости. Искомое сечение B1DS2S3 S3S3S3S3 D S1S1S1S1

15 Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

16 Задача 5 На рёбрах AA1, CC1 и CD призмы ABCDA1B1C1D1 заданы соответственно точки К, Р и Q. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым AQ и DP. А В1В1В1В1 С С1С1С1С1 D В Q P В плоскости CDD1 через точку Q проведём прямую QC2//DP. Пересекающимися прямыми AQ и QC2 определяется плоскость AQC2, параллельная прямым AQ и DP, -- плоскость вспомогательного сечения. Сечение AQC2VT. С2С2С2С2 V T Искомое сечение проходит через точку К параллельно AQC2. В плоскости АВВ1 через точку К КТ1//АТ. В плоскости А1В1С1 через точку Т1 -- T1V1//TV. В плоскости ВСС1 через V1 прямая V1C3//VC2, в плоскости CDD1 через С3 C3D2//DP, в плоскости АВС через D2 A2D2//AQ. Искомое сечение A2KT1V1C3D2. T1T1T1T1 V1V1V1V1 С3С3С3С3 D2D2D2D2 А2А2А2А2 D1D1D1D1 А1А1А1А1 K РЕШЕНИЕ:

17 Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости

18 Задача 6 На ребре CD правильной пирамиды MABCD, высота которой равна половине диагонали её основания, взята точка Е – середина этого ребра и через точки М, В и Е проведена секущая плоскость α. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD перпендикулярно плоскости α. АА В В С С D E M E DQ O Q N F N O РЕШЕНИЕ: Опустим перпендикуляр из точки О на плоскость α. F α Q P F N M O P Строим ОРMF V Соединяем ВР, VD, искомое сечение BVD

19 Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

20 Задача 7 В основании пирамиды SABCD лежит квадрат. Её боковое ребро SС перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На медиане DF боковой грани SCD взята точка Р. Постройте сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной прямой DF и проходящей через точку Р. АD C S B S0S0S0S0 C0C0C0C0 D0D0D0D0 РЕШЕНИЕ: F Р 1. Через точку Р проведём прямую МNDF M0M0M0M0 F0F0F0F0 N0N0N0N0 P0P0P0P0 M N 2. Через точку М проведём прямую LM(ABC). Через точку N проведём прямую KN(ABC) L K 3. Соединяем точки K и L, искомое сечение KLMN