Ряды и произведения sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, Если требуется вычислить. - презентация

1 Ряды и произведения sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity. Sum -отложенного исполнения product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product (P(n),n=a..b).

2 Пример 1. Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен: >a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1)); >S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N); >S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

3 Пример 2. К какой функции сходится степенной ряд: ? >Sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity)= sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity);

4 Пример 3. Найти сумму степенного ряда. > Sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity)= sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity);

5 Пример 4. Вычислить бесконечное произведение: > Product((n^3-1)/(n^3+1),n=2..infinity)= product((n^3-1)/(n^3+1), n=2..infinity);

6 Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда. taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n по формуле Тейлора.

7 Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).

8 Пример 1. Разложить в степенной ряд в окрестности х0=0, сохраняя 5 первых членов. >f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5); 2. Найти многочлен Тейлора 6-ой степени для функции >taylor(x/(1+x),x=0,6);

9 Примеры >convert(%,polynom) 3. Найти разложение функции в ряд Тейлора 4- ой степени в окрестности точки >taylor(e^x+1,x=2,5); 4. Найти разложение в ряд Маклорена функции >taylor(1/x^2+x,x); Error, does not have a taylor expansion, try series()

10 Примеры >series(1/x^2+x,x); >series(1/x^2+x,x=2,7); (9/4+3/4*(x-2)+3/16*(x-2)^2-1/8*(x- 2)^3+5/64*(x-2)^4-3/64*(x-2)^5+7/256*(x- 2)^6+O((x-2)^7) >taylor(cos(sin(x)),x);

11 если нужно получить коэффициент при слагаемом порядка k, то надо использовать команду >coeftayl(expr,v,n); v-список переменных n- порядок слагаемого, при котором выписывается коэффициент

12 Пример >taylor(exp(-x),x,6); >coeftayl(exp(-x),x=0,5);

13 Разложение функции нескольких переменных Функцию многих переменных f(x1,…,xn) можно разложить в ряд Тейлора по набору переменных (x1,…,xn) в окрестности точки (a1,…,an) до порядка n с помощью команды mtaylor(f, v, n) f алгебраическое выражение, v список имен или равенств, n параметр, задающее порядок разложения, по умолчанию 6

14 Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-го порядка > f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x,y], 7);

15

16 Пример >taylor(cos(x),x,8): p:=convert(%,polynom); > plot([cos(x),p],x=- 2*Pi..2*Pi,color=[blue,green],thicknes s=[3,3],linestyle=[1,3]);

17

18 Приложение формулы Тейлора для вычисления пределов