Метод конечных элемнтов Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. - презентация

1 Метод конечных элемнтов Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.

2 Основные этапы метода 1.Дискретизация области; 2.Получение матриц элементов; 3.Построение матрицы жесткости (общей матрицы для всей области) и вектора нагрузки; 4.Наложение граничных условий; 5.Решение системы уравнений; При этом свойства отдельного элемента выводится путем минимизации функционала задачи или применения формулы метода Галеркина после выбора аппроксимирующих функций.

3 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Дискретизация области Рисунок 2 Связи узлов структуры «Узлы с соседями» Рисунок 1 Разбиение области треугольными элементами Рисунок 3 Граничные элементы i j ГjГj j-1 j+1 D

4 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Структура связности элементов Элементы и узлы нумеруются глобальной системой. Для каждого элемента записываются номера принадлежащих ему узлов, определяя связь узловых точек элементов. Элемент Узел n1 n2 n3 n4 Тип Треуголь ник Прямоуг ольник 32365

5 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Неизвестные функции на элементе (1) Пусть U – вектор неизвестных системы, тогда вектор, образуемый векторами узловых неизвестных элементов, имеет вид: Верхний индекс n обозначает, что вектор распространяется на все узлы элемента, s – число узлов элемента. Тогда можно выразить неизвестные U внутри элемента через значения узловых неизвестных и интерполирующих функций: (2)

6 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Рассмотрим функционал для функции U вида F=F(U). Минимизируя его по отношению к элементам U n приводит к системе линейных алгебраических уравнений, связывающих элементы вектора U n с вектором нагрузки P. Эта система имеет вид: (3) Исходя из аппроксимации (2) можно записать: (4) Здесь i=1..s – номера узлов в локальной системе нумерации; u n – элементарный вектор узловых неизвестных для функции u.

7 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Рассмотрим обобщенное гармоническое уравнение: С граничными условиями: (6) (5) В соответствии с вариационной формулой Галеркина можно записать: (7)

8 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Интегрируя выражение (6) по частям, получим: (8) Примем для функции u в пределах элемента аппроксимацию в соответствии с выражением (2), тогда производные по пространственным координатам (9)

9 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Подставив функции u и ее производные в выражение (8), получим следующую систему алгебраических уравнений: Где K,M,P – матрицы конечного элемента, определяемые по формулам: (11) (10)

10 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Рассмотрим уравнение: С граничными условиями: (13) (12) Где - направляющие косинусы нормали по отношению к осям x,y.

11 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Если воспользоваться вариационной формулой Галеркина, то вместо уравнения (12) и граничных условий (13) можно записать: Выражение в левой части равенства (14) есть вариация функционала: (14) (15) Закон изменения функции u по полю конечного элемента можно аппроксимировать степенным полиномом вида: (16)

12 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Входящие в формулу (16) неизвестные параметры можно выразить через узловые значения функции в узловых точках 1,2,3. Для этого, использую зависимость (16) выпишем значения функции u в узловых точках элемента: Выразив отсюда неизвестные параметры, получим: (17) (18)

13 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Реализация. Общий алгоритм 1.Считывание данных из файла; 2.Определение типа жесткой границы; 3.Задание граничных условий (в зависимости от типа границы); 4.Формирование матрицы жесткости; 5.Вычисление вектора нагрузки; 6.Внедрение условий Дирихле (учет угловых точек); 7.Решение СЛАУ;

14 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Сбор глобальной матрицы Пусть count – число узлов области; countEll – число элементов разбиения; Do cell=1,countEll !*** Вычисляем матрицу K (локальная матрица элемента) ***! Do i=1,3 row=NOD(i,cell) Do j=1,3 col=NOD(i,j) A(row,col)= A(row,col)+K(i,j) End do

15 Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.