Метод неопределенных коэффициентов. Теорема Виета и метод неопределенных коэффициентов х 2 + рх + q = 0 х 2 + рх + q = (х – х 1 )(х – х 2 ) х 2 + рх + - презентация

1 Метод неопределенных коэффициентов

2 Теорема Виета и метод неопределенных коэффициентов х 2 + рх + q = 0 х 2 + рх + q = (х – х 1 )(х – х 2 ) х 2 + рх + q = х 2 – х 2 х – х 1 х + х 1 х 2 х 2 + рх + q = х 2 – х(х 2 + х 1 ) + х 1 х 2 х 2 + х 1 = - р х 1 х 2 = q

3 Глава 1. Теорема Виета и метод неопределенных коэффициентов Глава 2. Схема Горнера и метод неопределенных коэффициентов Глава 3. Уравнения высоких степеней и метод неопределенных коэффициентов Глава 4. Неравенства и метод неопределенных коэффициентов Глава 5. Разложение правильных дробей на простые методом неопределенных коэффициентов Глава 6. Функциональные уравнения и метод неопределенных коэффициентов Глава 7. Иррациональность и метод неопределенных коэффициентов

4 Метод неопределенных коэффициентов – это метод, применяемый для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен.

5 Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение 2 х 3 - 4х 2 – 8х + а = 0 имеет два различных корня. Ответ:а 1 = -, а 2 = 16

6 Пример 2.Решить уравнение х 4 - 4х х х - 14 = 0 Решение: х 2 + rх + s, х 2 + pх + q. х 4 - 4х х х - 14 = (х 2 + pх + q)( х 2 + rх + s). p + r = - 4 s + q + pr = - 10 ps + qr = 37 qs = - 14 q = 2, s = - 7,r = 1, p = - 5. х 4 - 4х х х - 14 = (х 2 - 5х + 2)( х 2 + х - 7). (х 2 - 5х + 2)( х 2 + х - 7) = 0. Ответ:

7 Пример 3. Доказать, что при любых значениях х выполняется неравенство х х х х +24 > 0. Решение: х х х х +24 = (х 2 + ах + b) 2 + с, т.е. х х 3 +12х х +24 = = х 4 + 2ах 3 + (2b + а 2 )х 2 + 2аbх + b 2 + c х 4 1 = 1 х 3 2а = - 4 х 2 2b + а 2 = 12 а = - 2, b = 4, с = 8 х 1 2аb = - 16 х 0 b 2 + c = 24 (х 2 - 2х + 4) > 0, которое выполняется при любых значениях х.

8 Пример 4. Вычислить сумму. Решение: (А+В+С) к 2 +(А - С) к – В = 1 к 2 А+В+С = 0 к 1 А – С = 0 к 0 - В = 1 А=, В = - 1, С =. (2) Ответ: (1)

9 Пример 5. Избавится от иррациональности в знаменателе дроби Решение: А + В2 + С3 + D6 А + В + С + D = (А – 2В + 3С) + ( - А +В+ 3D) + (А + С+ 2D) + (В – С + D) = = А -2В + 3С = 1, - А+ В + 3D = 1, А + С – 2D = - 1, В - С + D = 0 Откуда А = 0, В = - 1\2, С = 0, D = 1\2, =

10 Пример 6.Функция ƒ (х) определена при всех действительных х и удовлетворяет при всех х, принадлежащих всем действительным числам, условию 2 ƒ(х) + ƒ(1 – х) = х 2. Найдите ƒ(х)».[IX Всероссийская математическая олимпиада, III этап, 1982 – 1983 гг., Х кл.] Ответ: ƒ(х) = 1/3(х 2 + 2х - 1).