Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t) Работа ученицы 10А класса Бражкиной Виктории. - презентация

1 Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t) Работа ученицы 10А класса Бражкиной Виктории

2 На практике, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вида Asinx + Bcosx. Рассмотрим для примера выражение 3sinx + cosx Если переписать это выражение в виде 2(3/2sinx + ½cosx) и вспомнить, что 3/2 = cos/6, а sin1/2 = /6, то можно представить выражение иным образом: 2(3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos /6 sinx + sin /6 cosx) = 2sin(x+t). Стоит заметить, что C = 2; t = /6.

3 В самом деле А+В=С, при n=2 Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; Пусть для определенности А и В – положительные числа (А/С) + (В/С) = 1, при n=2, То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит на Числовой (единичной) окружности. Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторого Аргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sint Учитывая всё это, поработаем с выражением: Asinx + Bcosx; Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) = = C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)

4 Итак, получаем выражение: Asinx + Bcosx = Сsin(x+t) Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0, В>0, Преобразовать к виду Сsin(x+t). Обычно аргумент t называют вспомогательным или Дополнительным аргументом. Вот 1 из примеров его нахождения: Пример 1. Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx. Решение: А = 5; В = -12, По теореме П ифагора С = 13. Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).

5 Введём вспомогательный аргумент t, Удовлетворяющий соотношениям: cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13. Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint = sin(x-t). Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t = arcsin12/13. Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 5sinx - 12cosx. Решение: опираясь на пример 1 имеем данные: y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём что у [-13 ; 13] (поскольку синус принимает значения от -1 до 1)

6 Также следует обратить внимание на то, Что с равным успехом можно считать, Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost. Тогда: Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) = = С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t). Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)