Угол между двумя плоскостями Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z. - презентация

1 Угол между двумя плоскостями Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 можно найти, используя формулу где - векторы нормалей. Однако угол между векторами может быть тупым, а угол между плоскостями нет. Поэтому, если косинус угла между векторами получился отрицательным, то в ответе нужно указывать его модуль.

2 Упражнение 1 Найдите угол φ между плоскостями, заданными уравнениями: а) x = 0, y = 0; б) x + y + z + 1 = 0, x + y – z – 1 = 0; в) 2x + 3y + 6z – 5 = 0, 4x + 4y + 2z – 7 = 0. Ответ: а) 90 о ; в)в) б)б)

3 Упражнение 2 Найдите угол между плоскостями, проходящими через вершины A, B, C 1 и B, C, D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, 0, 1). Данные плоскости ABC 1 и BCD 1 задаются уравнениями: y + z = 1, x + z = 1. Косинус угла между этими плоскостями равен 0,5. Искомый угол равен 60 о. Ответ. 60 о.

4 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BDA 1. Упражнение 3 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, 1). Данные плоскости ABC 1 и BDA 1 задаются уравнениями: y + z = 1, x – y + z = 0. Их скалярное произведение равно 0. Искомый угол равен 90 о. Ответ. 90 о.

5 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E – середина ребра AA 1. Найдите угол φ между плоскостями ABC 1 и B 1 D 1 E. Упражнение 4 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости ABC 1 и B 1 D 1 E задаются уравнениями: y + z = 1, x – y – 2z + 2 = 0. Ответ. 30 о. Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, –2). φ = 30 о.

6 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер AA 1 и BB 1. Найдите косинус угла φ между плоскостями ACF и B 1 D 1 E. Упражнение 5 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости ACF и B 1 D 1 E задаются уравнениями: x + y – 2z – 1= 0, x – y – 2z + 1 = 0. Векторы нормалей имеют координаты (1, 1, –2) и (1, –1, –2). Ответ.

7 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер AA 1 и CD. Найдите косинус угла φ между плоскостями BFC 1 и B 1 D 1 E. Упражнение 6 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости BFC 1 и B 1 D 1 E задаются уравнениями: 2x – y – z – 1 = 0, x – y – 2z + 1 = 0. Векторы нормалей имеют координаты (2, –1, –1) и (1, –1, –2). Ответ.

8 В правильной 3-й призме ABCA 1 B 1 C 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC 1 и AB 1 C 1. Упражнение 7 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

9 В правильной 3-й призме ABCA 1 B 1 C 1, ребра которой равны 1, точки D и E – середины ребер AA 1 и CC 1. Найдите косинус угла между плоскостями ABE и DB 1 C 1. Упражнение 8 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), A 1 (0, 0, 1), Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

10 В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки E, F и G – середины ребер AB, BC и SC. Найдите косинус угла между плоскостями SAD и EFG. Упражнение 9 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть O(0, 0, 0), E(0, 1, 0), F(1, 0, 0), S(0, 0, ). Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

11 В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки E, F – середины ребер SC, SD. Найдите косинус угла между плоскостями SAD и ABE. Упражнение 10 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть P, Q – середины ребер AB, BC; O(0, 0, 0), P(0, 1, 0), Q(1, 0, 0), S(0, 0, ). Точка R пересечения прямой SO и плоскости ABE имеет координаты Данные плоскости задаются уравнениями:

12 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BDD 1 и AFE 1. Упражнение 11 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

13 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCC 1 и AFE 1. Упражнение 12 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями:

14 В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SBD. Упражнение 13 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями:

15 В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SC. Найдите косинус угла между плоскостями SAF и SDG. Упражнение 14 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями: