СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ Сечения цилиндра плоскостью можно рассматривать как параллельные проекции основания цилиндра на эту плоскость. Поэтому, если. - презентация

1 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ Сечения цилиндра плоскостью можно рассматривать как параллельные проекции основания цилиндра на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания, то в сечении получается круг, равный основанию. Если же плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

2 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ Теорема. Внутри эллипса существуют такие точки F 1 и F 2, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная.

3 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Возьмем прямоугольный лист бумаги и нарисуем на нем оси координат Ox и Oy. Затем свернем этот лист в прямой круговой цилиндр, радиус основания которого примем за единицу. Ось Ox свернется в окружность радиуса 1, а ось Oy станет образующей цилиндра. Через диаметр OD полученной окружности проведем сечение, составляющее с плоскостью окружности угол в 45°. В этом случае сечением будет эллипс. Развернем цилиндр обратно в прямоугольник. Выясним, в какую кривую развернется эллипс.

4 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Докажем, что эллипс развернется в кривую, являющуюся частью синусоиды. Для этого из произвольной точки A на эллипсе опустим перпендикуляры на плоскость окружности и диаметр окружности OD. Получим соответственно точки B и C. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, так как ABC = 90°, ACB = 45°. Следовательно, AB = BC. Заметим, что BC = sin x, где x - длина дуги OB. Для этого достаточно обратиться к рисунку и вспомнить определение синуса. Таким образом, AB = sin x, где x = OB, т. е. эта кривая является частью синусоиды с уравнением y = sin x.

5 Упражнение 1 Какую форму принимает поверхность воды в круглом наклоненном стакане? Ответ: Форму эллипса.

6 Упражнение 2 Какую форму имеет сечение боковой поверхности наклонного цилиндра, не параллельное основанию? Ответ: Форму эллипса.

7 Упражнение 3 Цилиндр радиуса 1 пересечен плоскостью, составляющей угол 45 о с плоскостью основания. Найдите малую и большую ось эллипса, получившегося в сечении. Ответ: 1,

8 Упражнение 4 В основании цилиндра круг радиуса R. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью, если она образует с плоскостью основания угол. Ответ:

9 Упражнение 5 Возьмем прямоугольный лист бумаги и нарисуем на нем оси координат Ox и Oy параллельно соответствующим сторонам. Затем свернем этот лист в прямой круговой цилиндр, радиус основания которого примем за единицу. Ось Ox свернется в окружность радиуса 1, а ось Oy станет образующей цилиндра. Через диаметр OD полученной окружности проведем сечение, составляющее с плоскостью окружности угол. Развернем цилиндр обратно в прямоугольник. Выясните, в какую кривую развернется эллипс. Ответ: y = k·sin x, где k = tg φ.

10 Упражнение 6 Как из прямоугольного листа получить кусок трубы, изображенной на рисунке? Нужно разрезать лист по синусоиде (y = sin x), и из получившихся кусков сложить две части трубы.

11 Упражнение 7 Как из прямоугольного листа получить кусок трубы, изображенной на рисунке? Нужно разрезать лист по двум синусоидам (y = k·sin x, y = -k·sin x, k = tg 22 о 30), и из получившихся кусков сложить три части трубы.

12 Упражнение 8 Возьмем прямоугольный лист бумаги с нарисованными на нем осями координат. Свернем этот лист в боковую поверхность правильной четырехугольной призмы. Сторону основания призмы примем за 1. Через точки О и D проведем сечение плоскостью, составляющей с плоскостью основания угол 45 о. Развернем лист бумаги. Выясните, какая при этом получится кривая? Какие координаты имеет точка A? Ответ:

13 Упражнение 9 Возьмем прямоугольный лист бумаги и свернем его в боковую поверхность правильной шестиугольной призмы. Сторону основания призмы примем за 1. Через точки A 0 и D 0 проведем сечение плоскостью, составляющей с плоскостью основания угол 45 о. Развернем лист бумаги. Нарисуйте получившуюся при этом кривую?

14 Упражнение 10 На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки в трех см от верхнего края виднеется капля меда. А на наружной стенке в диаметрально противоположной точке уселась муха. Чему равен кратчайший путь, по которому муха может доползти до медовой капли? Диаметр банки 12 см. Ответ: см.