Уравнение плоскости Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю. - презентация

1 Уравнение плоскости Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали. ax + by + cz + d = 0, Доказательство. Пусть точка A 0 (x 0,y 0,z 0 ) принадлежит плоскости и (a,b,c) - перпендикулярный этой плоскости вектор. Точка A (x,y,z) будет принадлежать этой плоскости в том и только том случае, когда вектор (x-x 0,y-y 0,z-z 0 ) будет перпендикулярен вектору. Расписывая скалярное произведение через координаты данных векторов, получим уравнение a(x-x 0 ) + b(y-y 0 ) + c(z-z 0 ) = 0, которое задает искомую плоскость. Обозначая -ax 0 -by 0 - cz 0 =d, получим требуемое уравнение плоскости.

2 Уравнение плоскости Плоскость, пересекающая оси координат в точках A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), задается уравнением Плоскость, пересекающая две оси координат в точках A(a, 0, 0), B(0, b, 0), и параллельная третьей оси, задается уравнением Плоскость, пересекающая одну ось координат в точке A(a, 0, 0), и параллельная двум другим осям, задается уравнением

3 Упражнение 1 Найдите координаты вектора нормали для плоскости : а) 5x-y-1=0; б) 3x+18z-6=0; в) 15x+y-8z+14=0; г) x-3y+15z=0. Ответ: а) (5, -1, 0); б) (3, 0, 18); в) (15, 1, -8); г) (1, -3, 15).

4 Упражнение 2 Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1, 2, 1), с вектором нормали, имеющим координаты: а) (0, -5, 2); б) (6, -1, 3); в) (-4, -2, -1); г) (-3, -8, 0). Ответ: а) -5y+2z+8=0; б) 6x-y+3z+5=0; в) -4x-2y-z+1=0; г) -3x-8y+13=0.

5 Упражнение 3 В каком случае два уравнения: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 задают: а) одну плоскость; б) две параллельные плоскости? Ответ: а) Если для некоторого числа t выполняются равенства a 2 =ta 1, b 2 =tb 1, c 2 =tc 1, d 2 =td 1 ; б) Если для некоторого числа t выполняются равенства a 2 =ta 1, b 2 =tb 1, c 2 =tc 1 и неравенство d 2 td 1 ;

6 Упражнение 4 В каком случае две плоскости, заданными уравнениями: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0, перпендикулярны? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 =0.

7 Упражнение 5 Перпендикулярны ли плоскости: а) 2x – 5y + z + 4 = 0 и 3x + 2y + 4z – 1 = 0; б) 7x – y + 9 =0 и y + 2z – 3 = 0? Ответ: а) Да; б) нет.

8 Упражнение 6 Найдите ее точки пересечения плоскости x + 2y - 3z – 1 = 0 с осями координат. Ответ: x = 1, y= 0,5

9 Упражнение 7 Напишите уравнения координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz. Ответ: z = 0, y = 0, x = 0.

10 Упражнение 8 Напишите уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках: а) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1); б) A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3); в) A(1, 0, 0), B(0, -1, 0), C(0, 0, -2). Ответ: а) x + y + z = 1; б) в)

11 Упражнение 9 Напишите уравнение плоскости, пересекающей две оси координат в точках: а) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0); б) A(1, 0, 0), C(0, 0, 3); в) B(0, -1, 0), C(0, 0, -2), и параллельной третьей оси. Ответ: а) x + y = 1; б) в)

12 Упражнение 10 Напишите уравнение плоскости, пересекающей одну ось координат в точке: а) A(1, 0, 0); б) B(0, 2, 0); в) C(0, 0, -3), и параллельной двум другим осям. Ответ: а) x = 1; б) в)

13 Упражнение 11 Напишите уравнение плоскости, которая: а) проходит через точку M (1, -2, 4) и параллельна координатной плоскости Oxz; б) проходит через точку M (0, 2, 0) и перпендикулярна оси ординат. Ответ: а) y=-2; б) y=2.

14 Упражнение 12 Точка H(-2, 4, -1) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Напишите уравнение этой плоскости. Ответ: 2x-4y+z+21=0.

15 Упражнение 13 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 3, -1) и параллельной плоскости: а) 3x + y – z + 5 = 0; б) x – y + 5z – 4 = 0. Ответ: а) 3x +y – z – 7 = 0; б) x – y + 5z + 7 = 0.

16 Упражнение 14 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки: а) A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1); б) M(3, -1, 2), N(4, 1, -1), K(2, 0, 1). Ответ: а) x + y + z – 1 = 0; б) x + 4y + 3z – 5 = 0.

17 Упражнение 15 Плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0. Напишите уравнение плоскости, симметричной данной относительно: а) координатных плоскостей; б) координатных прямых; в) начала координат. Ответ: а) ax + by – cz + d = 0, ax – by + cz + d = 0, –ax+by+cz+d = 0; б) ax –by –cz+d=0, –ax+by –cz+d=0, –ax –by+cz+d=0; в) –ax –by –cz+d=0.

18 Упражнение 16 Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы x 2 + y 2 + z 2 = 9 в точке с координатами: а) (0, 3, 0); б) (2, -2, 1). Ответ: а) y=3; б) 2x – 2y+z – 9 = 0.