Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства. - презентация

1

2 Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства R (n) Предел функции. Непрерывность функции. Теоремы о непрерывных функциях.

3 Функция одного переменного – отображение множества X на множество Y :. Функция или отображение – это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающих следующими свойствами : (декартово произведение X x Y ) Кортеж – последовательность конечного числа элементов, в частном случае – упорядоченная пара. Прямое или декартово произведение множеств - множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. X - область определения функции f, - область значений функции f.

4 Определение функции обобщается на случай функции многих переменных. Пусть даны множества X 1, X 2, …., X n и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n переменных тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что. Функцией n переменных называется отображение множества E пространства R (n) на множество действительных чисел. E – область определения функции. y x

5 y z x Функция двух переменных Z = f(x,y) определяется на множестве E пространства R (2) Графиком функция двух переменных z = f(x,y) называется совокупность всех точек (x,y,z), получающихся для всех точек (x,y) множества E. O z(x,y) E (x,y)

6 Параметрический способ задания функции y z x Неявный способ задания функции y z x Явный способ задания функции

7 Построение линий уровня o x y o z y z x y

8 Точка P o называется точкой прикосновения множества, если всякая окрестность точки P o содержит хотя бы одну точку множества E. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки соприкосновения. Точка P o называется внутренней точкой множества, если существует окрестность точки P o, все точки которой принадлежат множеству E. o x y все точки множества E – точки прикосновения, внутренних точек нет. все точки E – внутренние. Внутренних точек нет, все точки E – граничные.

9 Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки принадлежат множеству E. Областью называется связное и открытое множество. Односвязная область Если множество точек, дополнительных к области, связно, то область называется односвязной. Если дополнительное множество несвязно, то область называется многосвязной. Многосвязная область Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью. Точка называется граничной для множества E, если в любой ее окрестности есть точки принадлежащие как множеству E, и не принадлежащие ему. Односторонние поверхности

10 Предел суммы, произведения, частного двух или нескольких функций равен сумме, произведению, частному пределов этих функций. В последнем случае предел знаменателя не должен быть равным нулю. Число A называется пределом функции f(P) в точке P o по множеству E, если для любого > 0 существует > 0, такое, что из неравенства следует неравенство. Если точка и предел функции f(P) в точке P o по множеству E существует, то функция f(P) называется непрерывной в точке P o по множеству E. Функция f(P) непрерывная в каждой точке множества E, непрерывна на множестве E.

11 @ Найти предел функции f(P), когда P стремится к нулю. Выберем путь - луч Ищем теперь частичный предел по пути вдоль кривой Предела функции во всей области существования нет. Решение !

12 @ Найти предел функции f(P), когда P стремится к началу координат Предел функции равен нулю. Решение

13 Теорема Кантора Функция, непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве E, равномерно непрерывна на нем. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве то она принимает на этом множестве как самое большое, так и самое малое значение. Теорема Больцано – Коши Функция, непрерывная на связном множестве, принимает вместе с двумя значениями и все промежуточные. В сложной функции число основных и промежуточных аргументов может быть различно. Непрерывность сложной функции определяется непрерывностью промежуточных аргументов.