{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций. - презентация

1 { определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций - равномерно непрерывная функция }

2 Пусть. Функция непрерывна в точке x 0 и x 0 - точка непрерывности функции f(x), если, x 0 – предельная точка X и существует. x 0 – точка разрыва функции f(x), если x 0 – предельная точка X и она не является точкой непрерывности f(x).

3 Функция f(x) непрерывна в точке x 0, если: y = f(x) x y 0 x0x0 x 0 - f ( x 0 ) x 0 + f ( x )f ( x ) ( )

4 Функция f(x) непрерывна в точке x 0 если Функция f(x) непрерывна в точке x 0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции y x 0

5 @ Решение Доказать, что функция непрерывна в точке 0 Требуется доказать, что | e x – 1 | < при | x | < ( ) логарифмируем последние неравенства по основанию e Итак, чтобы заданная функция была непрерывна при x = 0, достаточно потребовать

6 x 0 предельные точки X первого ( I ) родавторого ( II ) рода Не существует хотя бы одного конечного одностороннего предела

7 @ y = x y x 0 Разрыв первого рода

8 @ y x 1 0 Разрыв второго рода

9 Функция непрерывна в точке, если данная точка является ее точкой непрерывности, функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Пусть y = f(x) - непрерывна и строго монотонна на промежутке Х, тогда справедливо следующее: на промежутке Y существует непрерывная обратная функция x = f -1 (y), характер монотонности обратной функции такой же, как и у прямой. Все элементарные функции – непрерывны в области своего определения. y x 0 /2 - /2

10 Теорема 1 Пусть непрерывны в. Тогда f + g, fg, и f / g ( если ) непрерывны в x 0. Теорема 2 Если, f непрерывна в x 0, g непрерывна в y 0, тогда g( f(x) ) непрерывна в x 0. y x 0 y = f(x) = -x 2 g ( f(x) ) = e -x 2 x 0 g

11 Теорема 3 (Вейерштрасса) Область значений непрерывной на замкнутом ограниченном множестве функции замкнута и ограничена. Если непрерывна на [ a, b ] и f(a) f(b) < 0, то существует, для которой f(c) = 0. Теорема 4 (Больцано–Коши, о промежуточном значении) x 0 y a b f(a) f(b) ab f(a) Разрывная функция [ ] x y c

12 Функция равномерно непрерывна на X, если Пример То есть для = 1 нельзя указать, удовлетворяющее неравенству одновременно для всех. Равномерной непрерывности нет.