Геометрическое исследование эволюции орбит ИСЗ, обусловленной сжатием Земли, с учетом гравитационных возмущений от внешних тел Виктория И. Прохоренко vprokhor@iki.rssi.ru. - презентация

1 Геометрическое исследование эволюции орбит ИСЗ, обусловленной сжатием Земли, с учетом гравитационных возмущений от внешних тел Виктория И. Прохоренко Институт Космических Исследований РАН ИКИ РАН, Семинар «Механика, Управление, Информатика», 24 ноября 2005

2 АННОТАЦИЯ Рассматривается задача исследования эволюции орбит ИСЗ под влиянием гравитационных возмущений как от внешних тел (Луна, Солнце), так и от нецентральности геопотенциала. Большое внимание уделяется одному из аспектов этой задачи - времени существования ИСЗ на этих орбитах. 2

3 ВВЕДЕНИЕ (1) Исследования основаны на использовании вековых эволюционных уравнений, полученных М.Л. Лидовым [1] в 1961 году путем двукратно осреднения возмущающей функции по среднему движению спутника и возмущающего тела. В этих уравнениях геопотенциал представлен второй зональной гармоникой, а возмущающая функция ограниченной задачи трех тел – главным членом разложения в ряд по a/a 1, где a и a 1 – большие полуоси орбит спутника и возмущающего тела. Эта задача имеет два первых интеграла: a = c 0 и W = c (W – осредненная возмущающая функция) и в общем случае не интегрируема. 3

4 ВВЕДЕНИЕ (2) Для параметрического исследования характера эволюции орбит ИСЗ в системе Земля – Луна (и Солнце) будем использовать параметр, характеризующий отношение возмущающего ускорения от нецентральности геопотенциала к возмущающему ускорению от третьего тела. В работе М.Л. Лидова и М.В. Ярской [2] 1963 года показано, что при малых значениях параметра (a) (обратно пропорционального значению a 5 ), задача сводится к интегрируемой двукратно осредненной ограниченной задаче трех тел. 4

5 ВВЕДЕНИЕ (3) Используя реальные динамические характеристики рассматриваемой системы, мы получили значение a = a 1 = 5.6 R E (35700 км), при котором (a) = 1 (R E = – средний радиус Земли). Граница a 1 условно делит область значений большой полуоси ИСЗ на две части: при a < a 1, 1/ (a) < 1 преимущественное влияние на эволюцию оказывает сжатие Земли, а в области a 1 < a, (a) < 1 эволюция орбитальных элементов происходит под преимущественным влиянием гравитационных возмущений от третьего тела. 5

6 ВВЕДЕНИЕ (4) В области a 1 < a условная граница a 3 ~ 10 R E (63700 км), выделяет область a 3 < a, в которой (a) < 0.05 является малым параметром, и в которой действует асимтотика, соответствующая задаче трех тел. В области a < a 1 - граница a 2 ~ 4.45 R E (28300 км), выделяет область a < a 2, где малым параметром является 1/ (a)

7 ВВЕДЕНИЕ (5) Для исследования эволюции орбит в области действия каждой из асимтотик применяется единый геометрический метод. Аналитические решения вековых уравнений первого порядка сопоставляются с численными решениями полной системы дифференциальных уравнений, в которой используется модель движения ИСЗ, учитывающая гравитационные возмущения от геопотенциала до 4-ой гармоники JGEMT2 и от Луны и Солнца, положение которых рассчитывается по теории Хилла-Брауна и Ньюкома соответственно. Наряду с методическими примерами рассматриваются орбиты с параметрами, близкими к параметрам орбит некоторых реальных объектов. На следующих слайдах приводится система эволюционных уравнений М.Л. Лидова и первые интегралы этой задачи. 7

8 Осредненная возмущающая функция Параметр (a), характеризующий отношение возмущающего ускорения от нецентральности геопотенциала к возмущающему ускорению от третьего тела Обозначения: a 0 - экваториальный радиус Земли, J 2 – коэффициент при второй зональной гармонике разложения гравитационного потенциала центрального тела по сферическим функциям, a, e, i,, - кеплеровские элементы, = 1-e 2 ;, 1 – произведение гравитационной постоянной на массу центрального и возмущающего тел; a 1, 1, - параметры орбиты возмущающего тела. Здесь и далее угловые элементы с индексом eq измеряются относительно экватора планеты, а без индекса - относительно орбиты возмущающего тел. 8 (1) (2)

9 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 (3)(3) n – безразмерное время, I - наклон плоскости орбиты возмущающего тела к плоскости экватора планеты (4)(4)

10 Первые интегралы и функции 1, 2, 3, 10 Эволюционная система уравнений (3) имеет первые интегралы: a = c 0 и W = c. Введем следующие обозначения: Тогда интеграл W = c можно выразить в виде следующей линейной комбинации функций 1, 2, 3 (5) (8)(8) (6)(6) (7)(7)

11 I. Границы, выделяющие области с преимущественным влиянием на эволюцию угловых элементов каждого из факторов в отдельности: сжатия Земли, или возмущений от Луны и Солнца 11

12 Значения параметров (a) и 1/ (a) для системы Земля – Луна – Солнце и границы областей, в которых малыми являются параметр (a) либо 1/ (a) < / < 0.3 В области 1/ (a) < 0.3 (при a

13 II. Асимптотика, соответствующая преимущественному влиянию сжатия Земли на эволюцию угловых элементов, в области a< 4.45 R E (28300 км), (1/ (a)

14 Эволюция угловых элементов В рамках этой асимптотики может быть использовано решение осредненной задачи, учитывающей вековые возмущения первого порядка относительно J 2, впервые полученное в 1957 г Д.Е. Охоцимским, Т.М. Энеевым и Г.П. Таратыновой [3]. Эволюция угловых элементов eq, eq в соответствии с этим решением, носит монотонный характер и выражается следующими соотношениями, которые мы приводим в форме представленной в работе Проскурина и Батракова [4] (1960) Интеграл (8) мы перепишем в следующем виде (9)(9) 14 (10)

15 Эволюция параметра Для расчета эволюция параметра во всей области возможных значений параметра a будем использовать одно и то же уравнение, второе уравнение эволюционной системы (3). Из этого уравнения следует, что параметр достигает своих экстремальных значений при, лежащих на границах четвертей. При, проходящих через I и III четверти, убывает, а при, проходящих через II и IV, возрастает. Разница состоит только в законе изменения самого параметра в различных областях значений a. На следующих слайдах будут представлены формулы, выражающие закон изменения (t) в рамках рассматриваемой асимптотики. 15

16 Эволюция аргумента перигея, измеренного относительно плоскости эклиптики В соответствии с (9) зависимость от времени выражается соотношением (t) = 1 t + (( 2 t+ eq0 ), i eq ) + eq0, (11) где 1, 2 – угловые скорости эволюции элементов eq и eq соответственно, а формулы для ( eq, i eq,I) будут приведены на следующем слайде. Угловые скорости выражаются следующими соотношениями: где 16

17 Связь между угловыми элементами i eq, eq, eq отсчитанными относительно плоскости земного экватора, и элементами i,, отсчитанными относительно плоскости эклиптики Зависимость значений i, от i eq, eq и прямого восхождения восходящего узла eq определяется следующими соотношениями: cos i = cos eq sin i eq sin I + cos i eq cos I; i = i - i eq ; cos = (sin i eq cos I - cos eq cos i eq sin I) / sin i; sin = - sin I sin eq / sin i; = eq + где I = наклонение плоскости эклиптики к плоскости земного экватора. 17 (12)

18 Зависимость i и от eq при разных значениях i eq i = i eq + i(i eq, eq,I) = eq + (i eq, eq,I) Использованы значения i eq от 30 до 90 с шагом 20. Красные линии, соответствуют значению i eq = 90. Значения показаны пунктирной линией. 18 (13)

19 III. Параметрический анализ зависимости эволюции (t) от наклонения орбиты ИСЗ к плоскости земного экватора i eq 19

20 Зависимость от i eq безразмерных угловых скоростей и, эволюции элементов eq и eq На оси i eq и на кривых (i eq ) и (i eq ) кружочком отмечены точки, в которых = ; значком ? - точка, в которой =0, а звездочкой – точки, в которых = 0. = - cos i eq, = (5cos 2 i eq -1)/

21 Восемь интервалов в области значений параметра i eq, в которых имеют место различные соотношения между значениями угловых скоростей эволюции угловых элементов eq и eq под влиянием нецентральности геопотенциала Обл. Интервал значенийi eq Интервал / A ( ) (-2,-1) >0 0 A ( ) (1,2)(1,2) 21

22 Об особенностях эволюции ( ) и в зависимости от i eq0 Можно сформулировать следующее правило относительно особенностей эволюции ( ) в зависимости от знака угловой скорости эволюции eq : В случае отрицательного знака угловой скорости эволюции eq, (при i eq ) минимальное значение ( ) = min достигается в точках = 0 и 180. В случае же положительного знака этой угловой скорости (при i eq0 > 63.4 и i eq 0 < ) минимальное значение ( ) = min соответствует точкам = 90.

23 IV. О связи между эволюцией параметра и временем существования ИСЗ Прежде чем переходить к конкретному примеру, напомним сформулированный М.Л. Лидовым (1961) критерий соударения спутника с центральным телом конечного радиуса R

24 Критерий соударения спутника с центральным телом По оси X показано значение a в радиусах Земли (R E ) (1 a 25) По оси Y – значение (a, h p ) и * (a) 1.h p = 0, = * 2.h p = 600 km 3.h p = 1 R 4.h p = 2 R 5.h p = 3 R 24, * На рисунке показана зависимость (a, h p ) при разных значениях h p и *(a). Соударение спутника с центральным телом конечного радиуса R происходит при 0 h p (h p - высота перицентра орбиты спутника над поверхностью планеты. Выражение для = (1-e 2 ), как функции от a * =a/R E и h p и критическое значение *(a * ), соответствующее h p =0. = (2a * -1+2 h p (a * -1)- h p 2 )/a * 2 * = (2a * -1)/a * 2

25 V. Исследование характера эволюции на примере орбит с фиксированными значениями i eq0 = 90, h p0 = 600 km, a = km (4.47) R E и значениями eq0 и 0, соответствующими границам четвертей 25

26 Движение относительно границ четвертей при i eq0 = 90 eq < 0, eq = 0 = eq 26 I II III IV На рис. в области значений зеленым цветом отмечены II и IV четверти, которым соответствует возрастание следовательно Согласно соотношениям (14) По оси X показаны значения eq По оси Y – значения Стрелка показывает направление эволюции min = ( ) при = 0 (180 )

27 a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km28510 h p0 км600 eq0 0 Эволюция орбиты при a =4.47 R E, i eq0 = 90, eq0 =0, 0 = соответствует точке минимума ( ) t = 64 года

28 a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km28510 h p0 км600 eq0 265 i0i0 113 Эволюция орбиты при a =4.47 R E, i eq0 = 90, eq0 =180, 0 = соответствует точке максимума, его эволюция ведет к уменьшению и высоты перигея и заканчивается соударением спутника с Землей через 1.2 года

29 a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km67400 h p0 км600 eq0 0 i0i0 67 Эволюция орбиты при i eq0 = 90, eq0 =0, 0 =0 a =10 R E 29 Расчет выполнен на интервале времеи 10 лет Эволюция носит либрационный характер

30 VI. Продолжение параметрического анализа эволюции (t) от i eq 30 Выбор в качестве начальной точки 0 точки минимума ( ) позволяет начинать эволюцию параметра с той четверти, в которой происходит возрастание (и hp0). Это условие является достаточным для того чтобы обеспечить возрастание высоты перицентра (не допустить ее потерю на начальном этапе). Дальнейшее развитие событий зависит от eq0, с помощью которого можно обеспечить более длительное суммарное время прохождения через четверти с четными (II или IV) по сравнению с временем его прохождением через четверти с нечетными номерами (I или III). В четвертях с четными номерами в происходит возрастание (вместе с возрастание высоты перицентра).

31 Движение относительно границ четвертей на одном периоде изменения eq при i eq = 73.15, 0 = 0, eq0 = 0 Вертикальными штрихпунктирными (сплошными) линиями отмечены значения eq, при которых eq ( ) пересекает границы четвертей I IV III II 31 Стрелки показывают направлениеизменения eq, Используем eq в качестве безразмерного времени. Будем следить за моментами прохождения функций ( eq ) через границы четвертей. Значение функции ( ) возрастает при прохождении через окрашенные четверти (VI, II) и убывает при прохождении через неокрашенные четверти (II, I). В зависимости от соотношения между временами пребывания в соседних четвертях суммарное изменение за это время может оказаться положительным, отрицательным или нулевым. = min ( ) при = 0 или180° eq / eq = -1; Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция ( eq )

32 Движение относительно границ четвертей на одном периоде eq при i eq = 73.15, 0 = 0 и при разных значениях параметра eq0 Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция ( eq ) I IV III II 32 min = ( ) = 0 (180 ) Стрелками показано направление эволюции eq и Зависимость времен прохождения через четверти от начального значения eq0. Эти значения задаются на всем диапазоне [-180, 180 ] с шагом 45.

33 Зависимость функции ( eq ) от наклонения i eq орбиты к плоскости земного экватора 1) i eq = 46.4, eq / eq = -1, = min при = 90 2) i eq = 63.4, eq / eq = 0 = min при = 0 3) i eq = 73.1, eq / eq = 1 = min при = 0,180 7) i eq = 133.6, eq / eq =1 = min при = 90 6) i eq = 116.6, eq / eq = 0 = min при = 180 5) i eq = 106.9, eq / eq = -1 = min при = 0,180 4) i eq = 90, eq / eq = 33

34 Зависимость эволюции орбит от начальных значений угловых элементов при фиксированном значении a = 4.47 R E и параметра 0 = 0.43 i eq0 = 90, i eq0 = 73.1, i eq0 = 63.4, i eq0 =

35 a = 4.47 R E, 1/ =0.33, h p0 =600 km, 0 = 0.43 i eq0 0 eq0 c/ t лет а б в г a б в г 35 i eq0 = 90 i eq0 = 73 i eq0 = 46

36 2 Примеры эволюции параметров (, ) при разных значениях 0 и разных начальных значениях угловых элементов при a= 10 R E (при =0.0529) 5 0 i eq0 0 eq0 c

37 Расчет эволюции некоторых типовых орбит Орбита типа «Молния» Орбита типа «ГЛОНАС» Орбита типа «GPS» 37

38 Эволюция в течение 10 лет орбиты типа Молния с начальными данными: a = km (4.15 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = , 0 = 270, eq0 = 0 =15.04, c/ = Эволюция, имеет либрационный характер, возрастает

39 Эволюция в течение 10 лет орбиты типа Молния с начальными данными: a = km (4.15 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = , 0 = 270, eq0 =180 =15.04, c/ = убывает

40 Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GLONAS с начальными данными: a = km (3.98 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 = 0 =5.17, c/ = убывает

41 Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GLONAS с начальными данными: a = km (3.98 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 =

42 Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GPS с начальными данными: a = km (4.16 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 55, 0 = 270, eq0 = 270 =4.22, c/ =

43 Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GPS с начальными данными: a = km (4.16 R E ), e 0 =0.05, 0 = , i eq0 = 55, 0 = 0, eq0 = 0 =4.22, c/ =

44 Список литературы 1.Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников // Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва ноября М: Астрономический Совет АН СССР, С Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты // Космические Исследования XII. 2. с Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М., Таратынова Г.П. Определение времени существования искусственного спутника Земли и исследование вековых возмущений его орбиты // УМН, LXIII. 1a. C Проскурин В.Ф., Батраков Ю.В. Возмущения в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли // Бюл. ин-та теор. Астрон. АН СССР, 1960, 7, 7, С , (1960, 11029) 5.Вашковьяк М.А. О периодически эволюционирующих спутниковых орбитах в двукратно осредненной задаче Хилла при некомпланарности плоскостей движения возмущающей точки и экватора сжатой планеты // Письма в АЖ, С Вашковьяк М.А. Построение семейств периодически эволюционирующих спутниковых орбит в областях примерно равного полярного сжаьия планеты и притяжения внешнего тела // Письма в АЖ, С