Представление систем на стандартном симплексе. 2 Определение. Вид системы называется заданием системы на стандартном симплексе через функции (1) положительно. - презентация

1 Представление систем на стандартном симплексе

2 2 Определение. Вид системы называется заданием системы на стандартном симплексе через функции (1) положительно однородные по x. перехода, где Определение. Стандартным симплексом S называется фазовое пространство Математическое моделирование процессов отбора

3 3 Первая теорема о представлении Теорема 1.1 (Первая теорема о представлении). Любая системана стандартном симплексе S может быть представлена в виде где функцииквазиположительные, положительно однородные по переменным x. При этом, если функцииудовлетворяют Условию Липшица по x хотя бы в некоторой окрестности симплекса S (2)(2) где- некоторые положительные константы, то для функций также будет выполняться условие Липшица в этой окрестности. Математическое моделирование процессов отбора

4 4 Доказательство. На стандартном симплексе S: Если квазиположительны, тотакжеквазиположительны.. Условие положительной однородности: при Так как на симплексе S справедливо, то и Тогда на симплексе S: Пусть принадлежат симплексу S. Пусть - произвольные точки из окрестности (2) симплекса S, тогда точки Математическое моделирование процессов отбора

5 5 Т.к.непрерывны, тотакая, что при любом выборе точкииз окрестности (2) симплекса S. Тогда Что и требовалось доказать. Существует константа L такая, что Математическое моделирование процессов отбора

6 6 Если система на стандартном симплексе автономная, то первую теорему о представлении можно усилить. Теорема 1.2 Пусть системана стандартном симплексе является автономной. Тогда на симплексе S ее можно представить в виде (3) где функцииквазиположительные, положительно однородные, удовлетворяют условию Липшица в окрестности симплекса и, кроме того, неотрицательные. Математическое моделирование процессов отбора

7 7 Доказательство. По Теореме 1.1 для автономной системына стандартном симплексе справедливо представлениегде функции не зависят от переменной t и непрерывны по x, квазиположительны, положительно Тогда для произвольных точекиз симплекса S справедливо где L – положительная константа. Следовательно Так какквазиположительны, тои Возьмем однородны, удовлетворяют условию Липшица. Математическое моделирование процессов отбора

8 8 Для любой точкисправедливо Значит правые части системы (1) от заменынана симплексе S не меняются, и для этой системы справедливо (3). Что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора

9 9 Вторая теорема о представлении Теорема 2.1 (Вторая теорема о представлении). Пусть система на стандартном симплексе задана через функции перехода Тогда отношения компонент ее решенияудовлетворяют уравнениям (4) еслини в один момент времени не обращаются в ноль. Математическое моделирование процессов отбора

10 10 Доказательство. Для непрерывного отношенияв силу уравнений (1) выполняется Что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора

11 11 Теорема 2.2. Пусть в системе (4) функции- квазиположительные, положительно однородные по переменным x. Если система (4) при любых положительных начальных условиях из стандартного симплекса S имеет решение с положительными компонентами то система (1) будет единственной системой на стандартном симплексе, которой удовлетворяют переменные Математическое моделирование процессов отбора

12 12 Доказательство. x удовлетворяет одновременно (1) и (4). Докажем, что не существует другой системы на симплексе S, кроме (1), которой удовлетворяют переменные (4). Пусть на симплексе S существует система (5) не совпадающая с системой (1), которой удовлетворяет решение (4). Систему (5) можно записать в виде где (6) - квазиположительные, положительно однородные по переменным x. Справедливо Тогдаи просуммировав по j получаем Так както системы (1) и (6) тождественно совпадают. Что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора