ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-3. 4. Однородные ДУ I порядка. - презентация

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-3

2 4. Однородные ДУ I порядка.

3 Функция f(x;y) называется однородной степени n, если умножение всех её аргументов на одно и то же число t равносильно умножению функции на t n, т.е.

4 Пример 1. - однородная функция 3-ей степени Так как

5 - однородная функция 1-ой степени Так как - однородная функция 0-ой степени Так как

6 - однородная функция 2-ой степени Так как - однородная функция (-1)-ой степени Так как

7 ДУ I порядка называется однородным, если f(x;y)- однородная функция 0-ой степени, т.е.

8 Однородное ДУ I порядка можно записать в виде: Т.к., то если положить Получаем:

9 Решение однородного ДУ I порядка Это уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной или

10

11 -общее решение данного ДУ

12 Пример 2. Найти общее решение ДУ: Это однородное ДУ вида

13

14

15 Пример 3. Решить задачу Коши:, если y(1)=0 Это однородное ДУ вида

16

17

18 - общее решение Найдем С: или - частное решение

19 Уравнение вида называется однородным, если M(x;y) и N(x;y)- однородные функции одной и той же степени.

20 Пример 4. Найти общее решение ДУ: M(x;y) N(x;y) - уравнение однородное вида

21

22 (*)

23 - общее решение

24 Это однородное ДУ можно привести к виду

25

26 - получили (*)

27 Пример 5. Найти общее решение ДУ: M(x;y) N(x;y) - уравнение однородное вида

28

29 Пример 6. Найти общее решение ДУ: Это однородное ДУ можно привести к виду

30

31 общее решение

32 - общее решение или - общее решение