Скачать презентацию
Идет загрузка презентации. Пожалуйста, подождите
Презентация была опубликована 11 лет назад пользователемНиколай Черносвитов
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6
2 Дифференциальные уравнения высших порядков
3 Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: или 7. Основные понятия. Простейшее ДУ n-го порядка. (*)
4 Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида где f(x)- заданная функция. Решается уравнение посредством n последовательных интегрирований. Так как при каждом интегрировании вводится своя произвольная постоянная, то искомое решение ДУ будет зависеть от n произвольных постоянных.
5 Пример 1. Решить ДУ: Решение:
7 С2С2 С1С1 Ответ. Решение ДУ:
8 Общим решением ДУ n-го порядка (*) называется функция, которая при любом наборе произвольных постоянных С 1, С 2,…, С n обращает это уравнение (*) в тождество. Общее решение ДУ должно содержать столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения.
9 Частным решением ДУ n-го порядка (*) называется функция, которая получается при подстановке некоторого набора произвольных постоянных С 1, С 2,…,С n в общее решение этого уравнения.
10 Задача Коши (Cauchy) для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (*), удовлетворяющее начальным условиям …………
11 Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция и её частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами,то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
12 Пример 2. Решить задачу Коши: Решение: Найдем С 1. Для этого возьмем Тогда
13 Найдем С 2. Для этого возьмем Тогда
14 Найдем С 3. Для этого возьмем Тогда частное решение
15 Пример 3. Решить задачу Коши: Решение: Найдем С 1. Для этого возьмем Тогда Сначала приведем к виду
16 Найдем С 2. Для этого возьмем Тогда
17 Найдем С 3. Для этого возьмем Тогда - частное решение или
18 Пример 4. Найти общее решение ДУ: Решение: - общее решение
19 8. Дифференциальные уравнения II порядка Это уравнения, содержащие производные или дифференциалы II порядка. или Общий вид:
20 Общим решением ДУ II порядка называется функция, которая зависит от двух произвольных постоянных С 1 и С 2. или(неявный вид)
21 Частным решением ДУ II порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2. Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям где- некоторые числа, называется задачей Коши.
22 График всякого решения ДУ II порядка называется интегральной кривой. Геометрически: Общее решение ДУ II порядка представляет собой множество интегральных кривых, зависящих от двух произвольных постоянных С 1 и С 2.
23 Частное решение ДУ II порядка- одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (х 0, у 0 ) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом
24 Пример 5. Решить задачу Коши: Решение: Сначала приведем к виду общее решение (1) (2)
25 Найдем частное решение: Тогда частное решение ДУ: Подставим начальные условия в (1) и (2): (1) (2)
26 общее решение частное решение ДУ:
Еще похожие презентации в нашем архиве:
© 2024 MyShared Inc.
All rights reserved.