ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-9. 12. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - постоянные. - презентация

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-9

2 12. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - постоянные

3 Если имеет место равенство где- постоянные, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции

4 n функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.

5 Замечание Если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные С 1, С 2,…,С n не все равные нулю, такие, что будет выполняться тождество

6 Пример 1. Например, функции линейно зависимые, так как при имеет место тождество:

7 Пример 2. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю:

8 Пример 3. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю:

9 Теорема Если функции у 1, у 2,…, у n являются линейно независимыми решениями уравнения то его общее решение есть где С 1, С 2,…, С n - произвольные постоянные.

10 Нахождение общего решения ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. 1.Составляем соответствующее характеристическое уравнение: 2.Находим корнихарактеристического уравнения:k 1, k 2, …, k n

11 3.По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения: а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение b) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствует два частных решения и

12 с) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений d) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности r соответствуют 2r частных решений: Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т.е. столько, каков порядок данного линейного ДУ)

13 4.Найдя n линейно независимых частных решений у 1, у 2, …, у n, строим общее решение данного линейного уравнения: где С 1, С 2, …, С n – произвольные постоянные.

14 Пример 1. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ. Общее решение:

15 Пример 2. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ.

16 Пример 3. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ. Общее решение