Система координат на плоскости. Прямоугольная (декартова) система координат. 0 x y М(х;у) x y - ось ординат - ось абсцисс радиус-вектор -единичные векторы: - презентация

1 Система координат на плоскости. Прямоугольная (декартова) система координат. 0 x y М(х;у) x y - ось ординат - ось абсцисс радиус-вектор -единичные векторы: 0 x y III IIIIV четверти (квадранты)

2 Полярная система координат. 0 P - полярные координаты точки М полюс полярная ось - полярный радиус - полярный угол единичный вектор

3 Связь между прямоугольными и полярными координатами. 0 x y М Р Пусть М (х; у) –прямоугольные координаты т. М - полярные координаты т. М или

4 Пример 1. Найти прямоугольные координаты точки М, если даны её полярные координаты: Решение:Имеем: Находим: Ответ.

5 Пример 2. Найти полярные координаты точки М, если даны её прямоугольные координаты: Решение:Имеем: Находим: Ответ. 0 x y М Р

6 Преобразование системы координат Переход от одной системы координат в какую- либо другую называется преобразованием системы координат.

7 1. Параллельный перенос (пп) осей координат. 0 X Y Под пп осей координат понимают переход от системы координат OXY к новой системе OXY, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются прежними. 0 X Y

8 0 X Y 0 X Y M x y x y Пусть O(x 0 ;y 0 )- начало новой системы координат OXY x0x0 y0y0 M(x;y) – координаты точки в системе OXY

9 0 X Y 0 X Y M x y x y x0x0 y0y0

10 Нахождение старых координат (x;y), если известны новые (x;y) Нахождение новых координат, если известны новые.

11 Пример 3. Путем пп осей за новое начало координат взята точка O(2;-5). Найти координаты точки P в новой системе, если её координаты в старой системе (-3;4) Решение:Имеем: Находим: Ответ.

12 2. Поворот осей координат. 0 X Y Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. X Y

13 Пусть O(x; y)- начало новой системы координат OXY M(x;y) – координаты точки в системе OXY 0 X Y X Y M x y x y

14 Возьмем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями OX и OX – полярный угол в системе OXY - полярный радиус в обеих системах одинаков 0 X Y X Y M x y x y

15 По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным: Так как то определяет старые координаты (x;y) через новые (x;y)

16 Выведем формулу, которая позволяет выразить новые координаты через старые: Найдем x и y

17 Итак: определяет новые координаты (x;y) через старые (x;y)

18 Пример 4. Новые оси повернуты относительно старых на угол α= π / 4 Найти выражения старых координат произвольной точки плоскости (х;у) через её новые координаты (x;y) Решение:

19 Пример 5. Найти координаты точки Р в новой системе, повернутой относительно старой на угол α= π / 6, если её координаты в старой системе равны (-2;3). Решение: Имеем:

20 3. Параллельный перенос и поворот осей координат. Если новая система координат OXY получена из старой ОХУ путём пп осей координат и последующим поворотом осей на угол α, то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы, выражающие старые координаты (х;у) произвольной точки через её новые (x;y). 0 X Y 0 M x y x0x0 y0y0 X Y x y

21 0 X Y 0 M x y x0x0 y0y0 X Y x y Параллельный перенос. - новые координаты Относительно поворачиваем на угол α и получаем новую систему координат OXY Итак: