Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности. - презентация

1 Числовая последовательность и её предел

2 Сходимость последовательности

3 ограниченная сверху Определение. ограниченная снизу ограниченная Ограниченная последовательность числовая последовательность

4 Примеры. ограниченная сверху ограниченная снизу ограниченная

5 неограниченная Определение.

6 Пример.

7 бесконечно большая Определение. бесконечно малая Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

8 Определение.

9 Утверждение. бесконечно малая и ограниченная, то бесконечно малая Если Пример.

10 Утверждение. Обратное неверно.

11 Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности)

12 A ( ) Доказательство:

13 Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не достаточным. Пример.

14 Монотонные последовательности. Число е.

15 Определение. невозрастающая неубывающая возрастающая последовательность убывающая монотонная, если она неубывающая илиневозрастающая

16 Утверждение. 1.Неубывающая последовательность ограничена, если она ограничена сверху. 2.Невозрастающая последовательность ограничена, если она ограничена снизу. Доказательство: 1) 2)

17 Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

18 ограниченная неубывающая Докажем,что невозрастающей ограниенной Для невозрастающей ограниенной

19 Утверждение. Монотонность не является необходимым условием сходимости Пример. немонотонная, но

20 Принцип вложенных отрезков Пусть задана последовательность отрезков Тогда Следствие.

21 Пример. монотонно возрастает ограниченная 1 – 1 –точная верхняя грань

22 e. Число e. ограничена снизу 2 -неравенство Бернулли

23 монотонная и ограниченная снизу

24 Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия.

25 Определение. Подпоследовательностью для называется бесконечное подмножество элементов данной последовательности (.....) Пример подпоследовательность четных чисел; подпоследовательность чисел, дающих в остатке 1 при делении на 3.

26 Определение 2 Число пределом называется частичным пределом данной последовательности, если ее подпоследовательность, т.е.,сходящаяся к Пример.

27 Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность Или Любая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный частичный предел.

28 Доказательство: ограниченная -содержит бесконечное множество подпоследовательность последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

29 Следствия: Следствие 1. Любое бесконечное подмножество ограниченной последовательности имеет частичный предел. Следствие 2. Если все частичные пределы последовательности одинаковы и равны а, то она сходится к, т.е. Следствие 3. Последовательность, для которых хотя бы два различных частичных предела, расходящаяся. Пример. расходящаяся последовательность

30 Теорема 2 (критерий Коши) - фундаментальная, если удовлетворяет условию Коши

31