Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует. - презентация

1 Предел и непрерывность функции одной переменной

2 Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y y = f(x) Х – область определения функции; x – аргумент; -множество значений функции.

3 Функции f и g равны, если 1) области определения совпадают; 2) Пример: Равенство функций

4 1. Последовательность 2. («эн-факториал») Примеры.

5 3. 4. наибольшее целое число, не превосходящее x:

6 Аналитическое задание функции явно заданные функции: пример: неявно заданные функции: пример: параметрически заданные функции : пример:

7 область определения = область существования Примеры:

8 Графический способ задания функции Контрпример: Функция Дирихле

9 Табличный способ задания функции

10 Элементарные свойства функций монотонность; четность/нечетность; периодичность; нули функции; и т.п.

11 Предел функции в точке

12 Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если верно неравенство Определение (Коши) для любого, которое может быть сколь угодно малым, найдется такое что при всех удовлетворяющих условию

13 Примеры. 1. Показать, пользуясь определением предела, что определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5. Функция

14 Геометрическая интерпретация определения предела Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если для любой - окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, что для любого значения x а, попадающего в - окрестность точки а, значение - окрестности точки А. функции y=f(x) принадлежит

15

16 Замечание. Значение функции в точке a не влияет на предел функции в точке. Пример 1. Найти Решение:

17 Пример 2. Найти Решение:

18 Эквивалентное определение предела по Гейне Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любой последовательности.

19 Пример. Показать, что функция не имеет предела в точке x=0. в точке x=0 не имеет предела.

20 Теоремы о пределах

21 Теорема 1(единственность предела) Если функция f(x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

22 Доказательство: Пусть Докажем, что

23 Определение. Ограниченные функции Функция y = f(x) называется ограниченной в окрестности точки a, если существует такое М >0 (М = const) и такие,что

24 Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел) Если функция f(x) определена в окрестности точки a и имеет в точке a конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

25 Доказательство: Пусть

26 Пример. Функция ограничена в окрестности Предела в точке не имеет.

27 Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве) Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций и в точке a имеет предел, то

28 Теорема 4 (предел промежуточной функции) Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций и в точке a имеют один и тот же предел A, то функция в точке a имеет предел, равный этому же числу А.

29 Определение предела функции в бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, верно неравенство если для любого найдется такое число М > 0, что как только

30 и График функции y=f(x) асимптотически приближается к прямой y=A при

31 Пример. Функция Показать, что Решение:

32 Предел функции Понятие функции. Определение предела функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Переход к пределу в неравенстве. Предел промежуточной функции. Определение предела функции в бесконечности.