Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. - презентация

1

2 Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.

3 Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.

4 Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

5 Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой точка М середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторону CD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникам ABC и CAD. Согласно этому следствию точка Р середина стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно тому же следствию точка N середина стороны CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN являются средними линиями треугольников ABC и ACD, а отрезок MN средней линией трапеции ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Далее, по теореме о средней линии треугольника MP = ½ BC, PN = ½ AD Следовательно, MN = MP + PN = ½ (BC + AD) Теорема доказана.

6 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна с. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеций. Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN параллелограмм. Но KL \\ AC, LM\\BD, a ACBD. Поэтому KL LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с.

7

8 Доказать, что две трапеции равны, если их стороны соответственно равны.

9 Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 у которых стороны соответственно равны: АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, CD = C 1 D 1, DA = D 1 A 1. Пусть ВС, AD и B 1 C 1 A 1 D 1 основания этих трапеций. Предположим для определенности, что AD>BC, тогда A 1 D 1 > В 1 С 1 (рис. 34). Отметим на отрезках AD и A 1 D 1 соответственно точки Е и Е 1 так, чтобы ED = BC и E 1 D 1 = B 1 C 1. Тогда ED = E 1 D 1> и, значит, АЕ = А 1 Е 1, а четырехугольники BCDE и B 1 C 1 D 1 E 1 являются параллелограммами (объясните почему). Поэтому BE=CD, B 1 E 1 = C 1 D 1 (противоположные стороны параллелограмма равны), и так как CD = C 1 D 1, то ВЕ В 1 Е 1. Таким образом, в треугольниках ABE и А 1 В 1 Е 1 стороны соответственно равны (АВ = А 1 В 1, АЕ = А 1 Е 1, ВЕ = В 1 Е 1 ), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ВEA= B 1 E 1 A 1 и BEA = B 1 E 1 A 1. Но ВЕА = CDА, BEA = C 1 D 1 A 1, следовательно, CDA = C 1 D 1 A 1. Тем самым доказано, что в данных трапециях A = A 1, D=D 1. Так как AD\\BC, то из равенстваA = A 1 следует, что В = В 1, а из равенстваD 1 = D, что C= C 1

10 Биссектрисы равных углов А и С равнобедренного треугольника ABC пересекают боковые стороны треугольника в точках Е и Р соответственно. Докажите, что четырехугольник АРЕС трапеция с тремя равными сторонами. B CA PE

11 Решение. PE \\ AC (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), => PEA = PAE (теорема о накрест лежащих углах), => AP =PE, => в трапеции равны 3 стороны. B CA PE