Эллипсоид, сфера, конус Учитель математики ГОУ СОШ 718 Бугрова Елена Владимировна (Использована программа АвтоГраф 3.20) - презентация

1 Эллипсоид, сфера, конус Учитель математики ГОУ СОШ 718 Бугрова Елена Владимировна (Использована программа АвтоГраф 3.20)

2 Определение эллипсоида Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением. В частности, если a = b = c, то получаем сферу x 2 + y 2 + z 2 = a 2 с центром в начале координат и радиусом a. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Точки пересечения эллипсоида с осями координат: A 1 (a; 0; 0), A 2 (a; 0; 0), B 1 (0; b; 0), B 2 (0; b; 0), C 1 (0; 0; c), C 2 (0; 0; c) называются его вершинами. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии.

3 Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью xOy: z = 0. Оно задается системой уравнений и представляет собой эллипс с каноническим уравнением. Рассматривая аналогично сечения эллипсоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, а также плоскостями, им параллельными (x = h 1, y = h 2, z = h 3 ), получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при h 1 a, h 2 > b, h 3 > c)..

4 Эллипсоид

5

6 Сечения эллипсоида

7 Сфера a=b=c

8 Конус второго порядка в канонической системе координат имеет вид Эта поверхность второго порядка состоит из прямых, пересекающихся в одной точке – вершине конуса. Действительно, если точка с координатами (x 0 ; y 0 ; z 0 ) удовлетворяет уравнению конуса, то ему удовлетворяют также точки с координатами x = x 0t, y = y 0t, z = z 0t при любом значении параметра t. Записанные уравнения являются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через начало координат и точку (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Конус состоит из таких прямых, называемых образующими конуса. Ось аппликат канонической системы координат называется его осью. Оказывается, плоскость, проходящая через вершину конуса, либо не пересекает его в другой точке, либо пересекает по двум образующим, либо касается вдоль образующей. Любая плоскость, параллельная этим плоскостям, в первом случае пересекает конус по эллипсу, во втором случае – пересекает по гиперболе, в третьем случае – по параболе. Поэтому эллипс, гиперболу, параболу часто называют коническими сечениями.

9 Конус

10

11 Сечение конуса