To the Solution of a Bilinear Optimal Control Problem with State Constrains by the Doubled-Variations Method E.A. Rovenskaya Lomonosov Moscow State University, - презентация

1 To the Solution of a Bilinear Optimal Control Problem with State Constrains by the Doubled-Variations Method E.A. Rovenskaya Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia and International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria

2 Problem Formulation Assumptions: (A1) (A2) and are commuting matrices; (A3) is a continuous function increasing in x for all t and measurable in t (A4) for all is a continuously-differentiable function, (A5) optimal utility value the set of optimal controls

3 Equivalent formulation is a continuous increasing function

4 Assumption (A5) Equivalent formulation

5 optimal utility value optimal controls set Equivalent formulation

6 Discrete approximation Uniform grid on control approximation approximation of Property:

7 Approximation of Аппроксимация показателя качества где Discrete approximation

8 Optimal utility value Optimal controls set Problem

9 Let be an optimal control in problem, Then (i)(i) (ii) so that weakly in Lemma 1 Problem

10 Solution to Problem Условия (У2) и (У3) Рассмотрим

11 Решение задачи - допустимый элемент, то Определение. - критическая точка, если замена приводит к или Так как на - регулярная точка в противном случае. Утверждение. Пусть - критическая точка.Тогда Лемма 2. Пусть - регулярная точка.Тогда

12 Решение задачи Рассмотрим Лемма 4. Пусть не пусто. Тогда Лемма 3. пусто. Тогда (i)(i) (ii) и Пусть

13 Решение исходной задачи Теорема. Управление оптимально в исходной задаче. где -единственный корень уравнения

14 Решение исходной задачи Оптимальные траектории

15 Моделирование

16 Калибровка модели Начальный момент времени Конечный момент времени

17 Моделирование Время переключения

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31 Введение Изменения климата Влияние на окружающую среду и жизнь человека Эмиссии и концентрации парниковых газов Экономический рост Повышение температуры повышение уровня Мирового океана дальнейшее потепление лесные пожары … сельское хозяйство запасы пищи и пресной воды здоровье людей …

32 Модель: экономическая часть валовый выпуск продукции капитализация «производственных» технологий капитализация «очищающих» технологий Показатель качества max развитие технологий развитие «производственных» технологий развитие «очищающих» технологий

33 Модель: экологическая часть промышленные выбросы парниковых газов (У1) (У2)монотонно убывает на (У3) для всех функция для всех (У4) где

34 Постановка задачи Множество допустимых управлений -- множество таких измеримых функций монотонно возрастает на функция Дополнительное условие: Будем считать, что множество допустимых элементов не пусто непрерывна,