1 Производная функции Геометрический смысл производной. - презентация

1

2 1 Производная функции Геометрический смысл производной

3 2 Секущая к графику На графике функции Y = f (x) рассмотрим приращение /\X и /\Y. Прямую l, проходящую через любые две точки функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (Xo; Yo) и (X; Y), равен /\Y. Прямую l, проходящую через любые две точки функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (Xo; Yo) и (X; Y), равен Y – Yo Y – Yo X – Xo. X – Xo. Его удобно выразить через приращение /\X и /\Y: /\Y /\Y k = tg a= /\X. k = tg a= /\X.

4 3 Производная функции Рассмотрим способ нахождения углового коэффициента касательной к графику функции: Рассмотрим способ нахождения углового коэффициента касательной к графику функции: 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим её приращение в точке Хо: 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим её приращение в точке Хо: /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) 2)Находим выражение для разностного отношения /\f : 2)Находим выражение для разностного отношения /\f : /\X /\X /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\X /\X /\X /\X Которое затем преобразуем – упрощаем сокращаем на /\X и т. п. 3) Выясняем, к какому числу стремится /\f, если считать, что /\X 3) Выясняем, к какому числу стремится /\f, если считать, что /\X /\X /\X стремится к нулю. Найденное таким образом число является производной функции f в точке Xо. Найденное таким образом число является производной функции f в точке Xо.

5 4 Определение производной Производной функции f в точке Xo называется число, к которому стремится разностное отношение Производной функции f в точке Xo называется число, к которому стремится разностное отношение /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\X /\X /\X /\X при /\X, стремящемся к нулю.

6 5 Касательная к графику функции Касательная к графику дифференцируемой в точке Хо функции f – это прямая, проходящая через точку (Xo; f (Xo)) и имеющая угловой коэффициент f (Xo). Касательная к графику дифференцируемой в точке Хо функции f – это прямая, проходящая через точку (Xo; f (Xo)) и имеющая угловой коэффициент f (Xo). Тогда введём уравнение касательной к графику функции: Тогда введём уравнение касательной к графику функции: Y = f (Xo) + f (Xo) (X – Xo). Y = f (Xo) + f (Xo) (X – Xo). Значит геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной к графику функции. Значит геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной к графику функции. (На рисунке y = 0 касательная к графику (На рисунке y = 0 касательная к графику 2 функции Y = X в точке Xo = 0) функции Y = X в точке Xo = 0)