Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5. - презентация

1 Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

2 Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

3 Задача Коши для уравнения 2- го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

4 Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

5 Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой,.

6 Пример Проинтегрируем Имеем И

7 Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х=0 Ответ

8 Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

9 Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.

10 Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и - решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и - решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.

11 Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

12 Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

13 Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2- го порядка, то их линейная комбинация, где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

14 Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.